Книга для учителя МЦНМО 2003

 Назад  | Оглавление | § 4 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений
§ 3. Степень с действительным показателем
Окончание


1.5.D10

б) Упростите выражение
f(x)= ж
и 		2 ж
и 		 25
4
 ц
ш 		x
 
 + ж
и 		 5
2
 ц
ш 		x
 
 +2+  5x+4·2x
5x+4·2x
 ц
ш 		: ж
и 		2 ж
и 		 5
2
 ц
ш 		x
 
 -7+  31·2x
5x+4·2x
 ц
ш

и вычислите f(-1).

Решение. Заметим, что
ж
и 		2 ж
и 		 25
4
 ц
ш 		x
 
 + ж
и 		 5
2
 ц
ш 		x
 
 +2+  5x+4·2x
5x+4·2x
 ц
ш 		: ж
и 		2 ж
и 		 5
2
 ц
ш 		x
 
 -7+  31·2x
5x+4·2x
 ц
ш 		= ж
и 		2 ж
и 		 25
4
 ц
ш 		x
 
 + ж
и 		 5
2
 ц
ш 		x
 
 +2+
ж
и 		 5
2
 ц
ш 		x
 
 +4
ж
и 		 5
2
 ц
ш 		x
 
 +4
 ц
ш 		: ж
и 		2 ж
и 		 5
2
 ц
ш 		x
 
 -7+  31
ж
и 		 5
2
 ц
ш 		x
 
 +4
 ц
ш

.

Сделаем замену переменной. Пусть 
y= ж
и 		 5
2
 ц
ш 		x
 
 , y > 0

.

Выражение принимает вид
ж
и 		2y2+y+2+  y+4
y+4
 ц
ш 		: ж
и 		2y-7+  31
y+4
 ц
ш 		=  (y+4)(2y2+y+2)+y+4
y+4
 :  (y+4)(2y-7)+31
y+4

.

Так как y > 0, то y+4 № 0.

Получаем 
 (y+4)(2y2+y+2)+y+4
(y+4)(2y-7)+31
 =  (y+4)(2y2+y+3)
2y2+y+3
 =y+4

, поскольку при y > 0 выражение 2y2+y+3 положительно и, следовательно, отлично от нуля

Итак, 
f (x)= ж
и 		 5
2
 ц
ш 		x
 
 +4

; 
f (-1)=  22
5

.

Ответ:


 22
5

.

Следующая группа упражнений – задачи на сравнение значений выражений, содержащих степень с действительным показателем, требующие применения свойств степени с действительным показателем и показательной функции.


1.5.B11

б) Расположите числа f (60), g (45), h (30) в порядке убывания, если f (x)=5x, g (x)=7x, h (x)=3x.

Решение. f (60)=560; g (45)=745; h (30)=330.

Преобразуем данные степени так, чтобы получить одинаковые показатели: 560=62515; 745=34315; 330=915.

Запишем основания в порядке убывания: 625 > 343 > 9.

Cледовательно, искомый порядок: f(60); g (45); h (30).

Ответ:

f (60);g (45);h (30).


1.5.C01

б) Даны функции f (x)=17x и g (x)=4x. Сравните с нулем число 
f ж
и 		 1
5
 ц
ш 		-g ж
и 		 1
3
 ц
ш 		-g (2)

.

Решение.
f ж
и 		 1
5
 ц
ш 		-g ж
и 		 1
3
 ц
ш 		-g (2)=171/5-41/3-42=
5
Ц
 
17
 
 -
3
Ц
 
4
 
 -16 < 0

.

Ответ:


f ж
и 		 1
5
 ц
ш 		-g ж
и 		 1
3
 ц
ш 		-g (2) < 0

.


1.5.C12

а) Сравните 3[(22y2+5)/(11y2)] и 2[(15x2-11)/(5x2)], где x и y — некоторые действительные числа.

Решение.
 22y2+5
11y2
 =2+  5
11y2

> 2. Поэтому 3[(22y2+5)/(11y2)] > 32.


 15x2-11
5x2
 =3-  11
5x2

< 3. Поэтому 2[(15x2-11)/(5x2)] < 23.

Поскольку 32 > 23, получаем, что 3[(22y2+5)/(11y2)] > 2[(15x2-11)/(5x2)].

Ответ:

3[(22y2+5)/(11y2)] > 2[(15x2-11)/(5x2)].


1.5.D01

б) Даны функции f (x)=6x и g (x)=4x. Сравните числа f (33) и g (41).

Решение. f (33)=633; g (41)=441.

Сравним 633 и 441, или 333·233 и 282, или 333 и 
 282
233

, или 333 и 249.

Сравним сначала квадраты чисел 333 и 249.

(333)2=933 > 833=299 > 298=(249)2.

Следовательно, 333 > 249.

Из неравенства 333 > 249 следует f (33) > g (41).

Ответ:

f (33) > g (41).

Приведем еще два способа сравнения чисел 333 и 249.

  1. 333=332 ·3 > 332·2. Теперь сравним 332·2 и 249 или 332 и 248. Но 332=(32)16, а 248=(23)16. Понятно, что 32 > 23, поэтому (32)16 > (23)16, т.е. 332 > 248. Отсюда 333 > 249.

  2. Запишем 249 как 233·216 и сравним 333 и 233·216 или 
    ж
    и     		 3
    2
    		 ц
    ш     		33
     

    и 216. Но 
    ж
    и     		 3
    2
    		 ц
    ш     		33
     
    		 > ж
    и     		 3
    2
    		 ц
    ш     		32
     

    . Теперь сравним
    ж
    и     		 3
    2
    		 ц
    ш     		32
     

    и 216. Так как 
    ж
    и     		 3
    2
    		 ц
    ш     		2
     
    		 =  9
    4
    		 > 2

    , то 
    ж
    и     		ж
    и     		 3
    2
    		 ц
    ш     		2
     
    		 ц
    ш     		16

     
    		 > 216

    , т.е. 
    ж
    и     		 3
    2
    		 ц
    ш     		32
     
    		 > 216

    . Следовательно, 333 > 249.


1.5.D11

а) Сравните числа 3228Ц{11} и 2342Ц{10}.

Решение. 3228Ц{11}=9114Ц{11}=(9114)Ц{11}.

2342Ц{10}=8114Ц{10}=(8114)Ц{10}.

Поскольку 8114 < 9114 и 

Ц
 
10
 
 <
Ц
 
11
 

, получим 3228Ц{11} > 2342Ц{10}.

Ответ:

3228Ц{11} > 2342Ц{10}.

В завершение обзора задач на степень с действительным показателем рассмотрим упражнения, связанные с позиционной записью числа, прогрессиями и др.


1.5.A03

б) Дана функция f (x)=(0,1)x. Найдите значение выражения 6f (3)+9f (2)+4f (1)+4f (0).

Решение. 4f (0)+4f (1)+9f (2)+6f (3) =4·1+4·0,1+9·0,01+6·0,001=4,496.

Таким образом, данное выражение является разложением в сумму разрядных единиц десятичной дроби 4,496.

Ответ:

4,496.


1.5.B08

а) Дана функция
f (x)=a·5x+b·2-x.
Найдите числа a и b, если f (-1)=-4, f (1)=-2.

Решение. Составим систему уравнений
м
п
п
п
н
п
п
п
о
 1
5
 a+2b=-4,
5a+  1
2
 b=-2.
Умножим все члены первого уравнения на -25:
м
п
п
н
п
п
о
-5a-50b=100,
5a+  1
2
 b=-2.

Сложив уравнения, исключим переменную a: 
-  99
2
 b=98

Ы
b=-  196
99

. Из второго уравнения найдем a:
5a+  1
2
 · ж
и 		-  196
99
 ц
ш 		=-2

Ы
a=-  20
99

.

Ответ:


a=-  20
99

, 
b=-  196
99

.


1.5.C06

б) Дана функция f (x)=5x. Найдите значение выражения f (-1)-f (-2)+f (-3)+ј+(-1)n-1f (-n)+ј.

Решение.
f (-1)-f (-2)+f (-3)+ј+(-1)n-1f (-n)+ј =  1
5
 - ж
и 		 1
5
 ц
ш 		2
 
 + ж
и 		 1
5
 ц
ш 		3
 
 +ј+(-1)n-1 ж
и 		 1
5
 ц
ш 		n
 
 +ј

.

Данное выражение является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 
 1
5

и знаменателем 
-  1
5

. Сумма равна 
 1
5
1+  1
5
 =  1
6

.

Ответ:


 1
6

.


1.5.C09

а) Дана функция f (x)=3x. Найдите значение выражения f (-1)-f (-3)+f (-5)+ј+(-1)n-1f (-2n+1)+ј.

Решение. f (-1)-f (-3)+f (-5)+ј+(-1)n-1f (-2n+1)+ј = 3-1-3-3+3-5+ј+(-1)n-1·3-2n+1+ј.

Данное выражение является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 
 1
3

и знаменателем 
-  1
32

. Сумма равна 
 1
3
1+  1
9
 =  3
10

.

Ответ:


 3
10

.


1.5.C10

б) Найдите значение выражения
43/7·4[ 3/(72)]·4[ 3/(73)]·ј·4[ 3/(7n)]·ј

Решение. Воспользуемся свойством степени: 43/7·4[ 3/(72)]·4[ 3/(73)]·ј·4[ 3/(7n)]·ј = 4[ 3/7]+[ 3/(72)]+[ 3/(73)]+ј+[ 3/(7n)]+ј.

Показателем полученной степени является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 
 3
7

и знаменателем 
 1
7

. Сумма равна 
 3
7
1-  1
7
 =  1
2

.

Следовательно, значение данного выражения равно 41/2=2.

Ответ:

2.


1.5.D07

а) Дана функция f (x)=0,1x. Найдите значение выражения f3(1)-f3(2)+f3(3)+ј+(-1)n-1f3(n)+ј

Решение. f3(1)-f3(2)+f3(3)+ј+(-1)n-1f3(n)+ј =0,13-0,16+0,19+ј+(-1)n-1·0,13n+ј.

Данное выражение является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 0,001 и знаменателем -0,001.

Сумма равна 
 0,001
1+0,001
 =  1
1001

.

Ответ:


 1
1001

.


1.5.D09

а) Найдите значение выражения 52x+52y+25x·5y-25y·5x, если 5x-5y=3, x+y=3.

Решение. 52x+52y+25x·5y-25y·5x =(5x-5y)2+2·5x·5y+5x·5y(5x-5y) =32+2·5x+y+5x+y·3=32+2·53+3·53=634.

Ответ:

634.
 Назад  |  Оглавление  |  § 4 
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100