§ 1  | Оглавление | Продолжение 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений

• уравнения, решение которых основано на преобразованиях алгебраических выражений;
• уравнения вида fⁿ(x) = gⁿ(x);
• уравнения, содержащие знак модуля;
• уравнения, решаемые заменой переменной;
• однородные уравнения;
• задачи, связанные с функциональной символикой или содержащие дополнительные задания;
• уравнения, решаемые разложением на множители;
• системы уравнений.

Решение. Приняв во внимание, что x № 0, умножим числитель и знаменатель дроби в левой части уравнения на x. Получим уравнение, равносильное данному: 

5-4x 2+x

=

7-3x 13-x

.

Перейдем к равносильной системе

м п п н п п о (5-4x)(-x+13)=(7-3x)(2+x), 2+x № 0, 13-x № 0, Ы м п п н п п о 7x2-58x+51=0, x № 2, x № 13.

Решив полученную систему, найдем

й к к к к к л x=1, x=  51 7 .

Ответ:

1;

51 7

.

Решение. Преобразуем уравнение:

ж и  1 x -  1 x-1 ц ш -1   + ж и  4 x-1 -  4 x ц ш -1   =  3 8 x2 Ы ж и -  1 x(x-1) ц ш -1   - ж и -  4 x(x-1) ц ш -1   =  3 8 x2 Ы м п п н п п о -x(x-1)+  x(x-1) 4 =  3 8 x2, x(x-1) № 0.

Приведя подобные в левой части уравнения и разделив обе его части на x № 0, получаем 

-

3 4

(x-1)=

3 8

x

Ы

x=

2 3

.

Найденное значение удовлетворяет условию x(x-1) № 0.

Ответ:

2 3

.

Решение. Разложим трехчлен в знаменателе каждой дроби на множители: 

3 (x-2)(x+10)

-

x+3 (x+10)(x+2)

=

1 (x-2)(x+2)

.

Приведем дроби к общему знаменателю.

3(x+2)-(x+3)(x-2)-(x+10) (x-2)(x+10)(x+2) =0 Ы  x2-x-2 (x-2)(x+10)(x+2) =0 Ы м п н п о x2-x-2=0, (x-2)(x+10)(x+2) № 0.

Решив уравнение, найдем

й к к к л x=-1, x=2.

Условию (x-2)(x+10)(x+2) № 0 удовлетворяет корень x=-1.

Ответ:

-1.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м п н п о x7-9x5+2x2-2x-24=x7-9x5+3x2+3x-18, x7-9x5+3x2+3x-18 № 0 ЫЫ м п н п о x2+5x+6=0, x7-9x5+3x2+3x-18 № 0.

Решив уравнение x²+5x+6=0, найдем

й к к к л x=-3, x=-2.

Если x=-2, то x⁷-9x⁵+3x²+3x-18=148.

Если x=-3, то x⁷-9x⁵+3x²+3x-18=0.

Ответ:

-2.

Решение. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем:

1 x2 =  1 (2-7x)2 Ы м п н п о x2=(2-7x)2, x № 0.

Заметив, что условие x № 0 является избыточным, поскольку x=0 не удовлетворяет уравнению, заменим систему равносильным ей уравнением x²=(2-7x)². Решим уравнение:

x2=(2-7x)2 Ы й к к к л x=2-7x, x=-2+7x Ы й к к к к к к к л x=  1 4 , x=  1 3 .

Ответ:

1 4

;

1 3

.

Решение. Заметим, что

f (x)=

1 g (x)

, т. е. значения функций — взаимно обратные числа. Поэтому значения этих функций будут равны тогда и только тогда, когда

й к к к л f (x)=1, f (x)=-1.

Решим уравнение f (x)=1:

x2+3x x+8 =1Ы м п н п о x2+3x=x+8, x+8 № 0 Ы м п н п о x2+2x-8=0, x № -8, Ы й к к к л x=-4, x=2.

Решим уравнение f (x)=-1:

x2+3x x+8 =-1 Ы м п н п о x2+3x=-x-8, x+8 № 0 Ы м п н п о x2+4x+8=0, x № -8.

Уравнение полученной системы не имеет корней.

Ответ:

-4;2.

Решение. Заметим, что 

g (x)=

1 f (x)

. Поэтому равные значения данные функции могут принимать тогда и только тогда, когда

й к к к л f (x)=1, f (x)=-1.

Решим уравнение f (x)=1:

ж и  x2-2x x+18 ц ш -1   =1Ы  x2-2x x+18 =1.

Перейдем к равносильной системе

м п н п о x2-2x=x+18, x+18 № 0 Ы м п н п о x2-3x-18=0, x № -18.

Решив эту систему, найдем

й к к к л x=-3, x=6.

Решим уравнение f (x)=-1: 

x2-2x x+18

=-1

.

Перейдем к равносильной системе

м п н п о x2-2x=-x-18, x+18 № 0 Ы м п н п о x2-x+18=0, x № -18.

Дискриминант квадратного уравнения отрицателен. Решений нет.

Ответ:

-3;6.

Решение. Рассмотрим случай x < -2. Уравнение принимает вид 

-

8 2+x

=-x

Ы x²+2x-8=0.

Решив это уравнение, получим

й к к к л x=-4, x=2.

Рассматривать случай x > -2 не имеет смысла, так как по условию требуется найти только наименьший корень уравнения. Этим корнем является число -4.

Ответ:

-4.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м п н п о |x2+3x-45|=|4x2-3x|, 4x2-3x № 0.

Решим уравнение системы. Уравнение равносильно совокупности

й к к к л x2+3x-45=4x2-3x, x2+3x-45=-4x2+3x Ы й к к к л 3x2-6x+45=0, 5x2-45=0.

Первое уравнение не имеет решений.

Решим второе уравнение.

5x2-45=0 Ы й к к к л x=3, x=-3.

Оба найденных корня удовлетворяют неравенству системы.

Ответ:

3;-3.

 § 1  |  Оглавление  |  Продолжение 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru. Заказ книги: biblio@mccme.ru.