Книга для учителя МЦНМО 2003

 § 2  | Оглавление | Продолжение 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений

§ 3. Иррациональные уравнения

Этот параграф посвящен уравнениям, содержащим неизвестную под знаком радикала (корня). Такие уравнения называются иррациональными. Основная идея решения иррационального уравнения – освобождение от иррациональности, к которому приводят:

Кроме того, некоторые иррациональные уравнения можно решать, используя монотонность функции
y =
n
Ц
 
x
 

и теоремы о монотонных функциях.

Сделанные замечания справедливы и для систем, содержащих иррациональные уравнения: основными методами решения таких систем являются замена переменной (в пределах одного уравнения или всей системы) и освобождение от иррациональности.

Одним из наиболее распространенных преобразований при решении иррациональных уравнений является возведение в квадрат обеих частей уравнения. Напомним, что если обе части уравнения неотрицательны на некотором множестве, то возведение в квадрат обеих частей такого уравнения не приводит ни к потере, ни к приобретению решений на этом множестве, т. е. является равносильным преобразованием. Поэтому

Ц
 
f(x)
 
 = g(x) Ы м
п
п
н
п
п
о
l g(x) і 0,
f(x) = g2(x).
В самом деле, если правая часть уравнения отрицательна, то оно не имеет решений в силу неотрицательности левой части (квадратного корня). Если же правая часть уравнения неотрицательна, то возведение в квадрат обеих его частей является равносильным преобразованием. В последнюю систему порой добавляют требование f(x) і 0, которое совершенно излишне, так как решениями системы являются те значения переменной, для которых f(x) = g2(x) і 0. В этой связи стоит вспомнить определение арифметического квадратного корня: арифметическим квадратным корнем из числа a называется такое неотрицательное число b, квадрат которого равен a. Таким образом,
Цa = b Ы м
п
п
н
п
п
о
l b і 0,
a = b2.
Обратим внимание на то, что в этом определении нет ни слова о знаке числа a: ведь никакое отрицательное a определению просто не удовлетворяет. Тем не менее наличие в системе неравенства f(x) і 0 не следует считать ни ошибкой, ни даже недочетом, поскольку утверждение

Ц
 
f(x)
 
 = g(x) Ы м
п
п
п
н
п
п
п
о
l f(x) і 0,
f(x) = g2(x),
g(x) і 0
является верным.

Целесообразно обратить внимание учащихся и на то, что далеко не во всех уравнениях необходимо находить область допустимых значений функций. Так, например, уравнение

Ц
 
x2+2x-9
 
 =
Ц
 
2x-x-3
 

равносильно системе
м
п
п
н
п
п
о
l x2 + 2x - 9 = 2x - x - 3
2x - x - 3 і 0.
Однако при решении такой смешанной системы, как правило, совершенно не нужно и даже бессмысленно решать неравенство системы (в данном случае из этого просто ничего не получится). Достаточно решить уравнение системы и проверить, удовлетворяют ли его корни неравенству системы. В приведенном примере корнями уравнения являются числа 2 и -3, из которых 2 не удовлетворяет неравенству системы, а -3 — удовлетворяет. Таким образом, уравнение

Ц
 
x2+2x-9
 
 =
Ц
 
2x-x-3
 

имеет единственный корень -3.

При повторении темы учащимся стоит напомнить, что корень четной степени извлекается только из неотрицательных чисел и при этом принимает неотрицательные значения. Разумеется, с учащимися нужно повторить все свойства корня, в том числе и основное (
m
Ц
 
a
 
 =
mn
Ц
 
an
 

при a і 0).

Наиболее часто встречающиеся схемы, связанные с иррациональными уравнениями, содержащими корни четной степени, те же, что с уравнениями, содержащими квадратные корни. Уравнение
2n
Ц
 
f(x)
 
 = a

(n О N) при отрицательных a решений не имеет, а при неотрицательных значениях a равносильно уравнению f(x) = a2n без каких бы то ни было дополнительных условий. Уравнение
2n
Ц
 
f(x)
 
 =
2n
Ц
 
g(x)
 

равносильно смешанной системе
м
п
п
н
п
п
о
l f(x) = g(x),
f(x) і 0,
причем, как правило, уравнение системы решается, а неравенство проверяется. Уравнение
2n
Ц
 
f(x)
 
 = h(x)

равносильно смешанной системе
м
п
п
н
п
п
о
l f(x) = h2n(x),
h(x) і 0,
причем, как правило, уравнение системы решается, а неравенство проверяется.

При решении уравнений, содержащих корни нечетной степени, следует помнить, что эти корни извлекаются из любого действительного числа и принимают любые действительные значения. Так, например, уравнение
3
Ц
 
f(x)
 
 =
3
Ц
 
g(x)
 

равносильно уравнению f(x)=g(x).

Одним из самых распространенных методов решения уравнений является замена переменной. Не составляют исключения и иррациональные уравнения. Наиболее часто встречаются уравнения, которые можно привести к виду
af(x) + b
Ц
 
f(x)
 
 + c = 0

(в этом случае используется замена
z =
Ц
 
f(x)
 

, z і 0, после которой уравнение сводится к квадратному относительно z) и уравнения вида
a ·   ж
Ц
 f(x)
g(x)
 
 + b ·   ж
Ц
 g(x)
f(x)
 
 = c

(в этом случае уравнение сводится к квадратному заменой
z =   ж
Ц
 f(x)
g(x)
 

, z > 0). Обратим внимание на то, что при подстановке
z =
2n
Ц
 
f(x)
 

переменная z принимает только неотрицательные значения, а при подстановке
z =
2n+1
Ц
 
f(x)
 

 — любые действительные значения.

Особый вид иррациональных уравнений представляют собой уравнения, содержащие выражение
n
Ц
 
fn(x)
 

, а основные трудности при решении этих уравнений связаны с их распознанием и правильным извлечением корня для корня с четным показателем:
2n
Ц
 
f2n(x)
 
 = | f(x) |

(о знаке модуля часто забывают).

Одной из типичных ошибок при решении иррациональных уравнений является неверное преобразование корня из произведения (частного) двух функций в произведение (частное) корней из этих функций и обратное преобразование. И хотя в сборнике нет ни одного примера, в котором такое преобразование необходимо, тем учащимся, которые будут сдавать экзамены в вузы, целесообразно рассказать о возможности такой ошибки. Ошибка эта связана с тем, что область определения выражения

Ц
 
f(x)g(x)
 

шире области определения выражения

Ц
 
f(x)
 
Ц
 
g(x)
 

. В самом деле, второе выражение определено, если
м
п
п
н
п
п
о
l f(x) і 0,
g(x) і 0.
Первое выражение определено, если
м
п
п
н
п
п
о
l f(x) і 0,
g(x) і 0,
(в этом случае

Ц
 
f(x)g(x)
 
 =
Ц
 
f(x)
 
Ц
 
g(x)
 

) или
м
п
п
н
п
п
о
l f(x) Ј 0,
g(x) Ј 0,
(в этом случае

Ц
 
f(x)g(x)
 
 =
Ц
 
-f(x)
 
Ц
 
-g(x)
 

). Поэтому после перехода от корня из произведения к произведению корней можно потерять решения (чтобы этого не произошло, нужно рассматривать два случая), а при обратном переходе – приобрести посторонние решения (для того чтобы их исключить, нужно сделать проверку). В качестве примера решим уравнение
x(x + 3) + (x + 3)   ж
Ц
 x
x+3
 
 - 2 = 0

. Подкоренное выражение неотрицательно, если x і 0 или x < - 3. Рассмотрим два случая. Пусть x і 0. В этом случае
(x + 3)   ж
Ц
 x
x + 3
 
 =(x + 3)  Цx

Ц
x + 3
 =
Ц
 
x + 3
 
 ·Цx =
Ц
 
x(x + 3)
 

. Обозначив последнее выражение через z (z і 0), получим квадратное уравнение z2 + z - 2 = 0, единственным неотрицательным корнем которого является число 1. Сделаем обратную замену:

Ц
 
x(x + 3)
 
 = 1 Ы x(x + 3) = 1Ы     x2 + 3x - 1 = 0

, откуда
x =
- 3±
Ц
13
2

. Условию x і 0 удовлетворяет только корень
x =
- 3 +
Ц
13
2

. Пусть теперь x < - 3. В этом случае
(x + 3)   ж
Ц
 x
x + 3
 
 =(x + 3)

Ц
- x

Ц
- (x + 3)
 = - ( - (x + 3))

Ц
- x

Ц
- (x + 3)
 =-
Ц
 
- (x + 3)
 
Ц
 
- x
 
 = -
Ц
 
x(x + 3)
 

. Квадратное уравнение относительно той же переменной z будет иметь вид z2 - z - 2 = 0. Единственным неотрицательным корнем последнего уравнения является число 2. Таким образом,

Ц
 
x(x + 3)
 
 = 2 Ы x(x + 3) = 4 Ы x2 + 3x - 4 = 0

, откуда x = - 4; x = 1. Условию x < - 3 удовлетворяет только x = - 4. Приведенный пример показывает, что игнорирование второго случая действительно может привести к потере решений.

Стоит обратить внимание учащихся и на уравнения вида
f(x) ·
Ц
 
g(x)
 
 = 0

. При решении подобных примеров допускается большое число ошибок, связанных с плохо усвоенным правилом равенства нулю произведения двух сомножителей: произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй не теряет смысла. О последней части этого утверждения часто забывают, следствием чего является включение в ответ посторонних корней. Решая такое уравнение, учащиеся должны правильно сформулировать условие равенства нулю произведения двух функций и на области определения функции f(x) перейти к равносильной совокупности
й
к
к
к
к
к
л
l g(x) = 0,
{ ***{
l f(x) = 0,
g(x) і 0,
или же рассмотреть два случая, если знак совокупности не используется.

Несколько сложнее решаются иррациональные уравнения, содержащие более одного знака корня, в частности, те из них, которые можно привести к виду

Ц
 
f(x)
 
 +
Ц
 
g(x)
 
 =
Ц
 
h(x)
 
 .
В том случае, если функции f(x), g(x), h(x) являются линейными, уравнение решается стандартным образом: возведением в квадрат обеих его частей при условии, что каждая из этих функций неотрицательна. После возведения в квадрат и приведения подобных будет получено уравнение вида

Ц
 
p(x)
 
 = q(x)

, которое решается одним из способов, рассмотренных выше. Совершенно так же решается уравнение

Ц
 
f(x)
 
 +
Ц
 
g(x)
 
 =
Ц
 
h(x)
 

и в том случае, если один из радикалов заменить числом. Если же хотя бы одна из функций f(x), g(x), h(x) не является линейной (причем ни один из радикалов не является числом), то общего метода решения таких уравнений не существует.

Приведем решения ряда иррациональных уравнений и систем иррациональных уравнений.


2.3.B08

a) Решите уравнение
(-3x+8)
Ц
 
10+3x-4x2
 
 =0.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
й
к
к
к
к
л

Ц
 
10+3x-4x2
 
 =0,
{
-3x+8=0,
10+3x-4x2 і 0.

Решим первое уравнение: 

Ц
 
10+3x-4x2
 
 =0 Ы 4x2-3x-10=0

.

Корни уравнения:
й
к
к
к
к
к
л
x=2,
x=-  5
4
 .

Уравнение -3x+8=0 имеет корень 
x=  8
3

. Этот корень не удовлетворяет неравенству 10+3x-4x2 і 0.

Ответ:


-  5
4
 ;2

.
 § 2  |  Оглавление  |  Продолжение 
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100