Книга для учителя МЦНМО 2003


 Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 5. Показательные уравнения
Продолжение



2.3.C01

б) Решите уравнение

Ц
 

5x3+9x2+12x-36
 
=3x+2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе
м
п
н
п
о
5x3+9x2+12x-36=(3x+2)2,
3x+2 і 0.

Решим уравнение системы: 5x3+9x2+12x-36=(3x+2)2 Ы 5x3+9x2+12x-36 =9x2+12x+4 Ы 5x3-40=0 Ы x3=8 Ы x=2.

Полученный корень удовлетворяет неравенству 3x+2 і 0.

Ответ:

2.


2.3.C09

a) Решите уравнение

Ц
 

7x4+24x3+13x2+20x+25
 
=2x+5.

Решение. Данное уравнение равносильно системе
м
п
н
п
о
7x4+24x3+13x2+20x+25=(2x+5)2,
2x+5 і 0.

Решим уравнение системы:
7x4+24x3+13x2+20x+25=(2x+5)2 Ы7x4+24x3+13x2+20x+25=4x2+20x+25 Ы7x4+24x3+9x2=0 Ыx2(7x2+24x+9)=0 Ы й
к
к
к
л
x=0,
7x2+24x+9=0.

Корни квадратного уравнения:
й
к
к
к
к
к
л
x=-3,
x=-  3

7
.

Из найденных чисел условию 2x+5 і 0 удовлетворяют только числа 
0;-  3

7

.

Ответ:


0;-  3

7

.

2.3.D01

a) Решите уравнение 
3
Ц
 

x+5
 
-
3
Ц
 

x-4
 
=3

.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть 
y=
3
Ц
 

x+5
 

. Тогда x=y3-5.

Уравнение принимает вид
y-
3
Ц
 

y3-9
 
=3 Ыy-3=
3
Ц
 

y3-9
 
Ы(y-3)3=y3-9 Ыy3-9y2+27y-27=y3-9 Ы-9y2+27y-18=0 Ы y2-3y+2=0.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, сумма корней уравнения y2-3y+2=0 равна 3, а их произведение равно 2. Корнями являются числа 2 и 1.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
к
к
л
3
Ц
 

x+5
 
=2,
3
Ц
 

x+5
 
=1
Ы й
к
к
к
л
x+5=8,
x+5=1
Ы й
к
к
к
л
x=3,
x=-4.

Ответ:

3;-4.


2.3.D03

б) Решите уравнение
5   ж
Ц

 5x2-3x+2

2x2-3x+5
 
-7   ж
Ц

 2x2-3x+5

5x2-3x+2
 
=-2.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть 
y=   ж
Ц

 5x2-3x+2

2x2-3x+5
 

. Уравнение принимает вид 
5y-  1

y
=-2

; y > 0.

Таким образом, необходимо решить систему
м
п
н
п
о
5y2+2y-7=0,
y > 0.

Корни квадратного уравнения 5y2+2y-7=0:
й
к
к
к
к
к
л
y=1,
y=-  7

5
.

Условию y > 0 удовлетворяет только значение y=1.

Сделаем обратную замену и возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
 5x2-3x+2

2x2-3x+5
=1 Ы м
п
н
п
о
5x2-3x+2=2x2-3x+5,
2x2-3x+5 0
Ы м
п
н
п
о
3x2-3=0,
2x2-3x+5 0
Ы й
к
к
к
л
x=1,
x=-1.

Ответ:

1;-1.


2.3.D09

a) Решите уравнение 

Ц
 

3x2+35x-11
 
-4x+1


Ц
 

5x+1
 
-x-1
=0

.

Решение. Данное уравнение равносильно системе
м
п
п
н
п
п
о

Ц
 

3x2+35x-11
 
-4x+1=0,

Ц
 

5x+1
 
-x-1 0.

Решим уравнение системы:

Ц
 

3x2+35x-11
 
-4x+1=0 Ы м
п
н
п
о
3x2+35x-11=16x2-8x+1,
4x-1 і 0
Ы м
п
п
н
п
п
о
13x2-43x+12=0,
x і  1

4
.

Найдем корни квадратного уравнения:
й
к
к
к
к
к
л
x=3,
x=  4

13
.

Найденные значения удовлетворяют условию 
x і  1

4

.

Условию 

Ц
 

5x+1
 
-x-1 0

удовлетворяет корень 
x=  4

13

.

Ответ:


 4

13

.


2.3.C03

a) Решите систему уравнений
м
п
п
н
п
п
о
2
3
Ц
 

x
 
+3
3
Ц
 

y
 
=-1,
2
3
Ц
 

x
 
-3
3
Ц
 

y
 
=-7.

Решение. Заменим уравнение системы их суммой и разностью:
м
п
п
н
п
п
о
4
3
Ц
 

x
 
=-8,
-6
3
Ц
 

y
 
=-6
Ы м
п
п
н
п
п
о
3
Ц
 

x
 
=-2,
3
Ц
 

y
 
=1
Ы м
п
н
п
о
x=-8,
y=1.

Ответ:

(-8;1).

 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100