Книга для учителя МЦНМО 2003


 Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 4. Тригонометрические уравнения
Продолжение



2.4.B12

a) Решите уравнение
tan ж
и
3x+  7p

4
ц
ш
=tan ж
и
 13p

4
+6x ц
ш
.

Решение. Данное уравнение равносильно системе
м
п
п
п
н
п
п
п
о
3x+  7p

4
=  13p

4
+6x+pn,n О Z,
3x+  7p

4
 p

2
+pk,k О Z.

Решим уравнение. Приведя подобные члены, найдем
-3x=  3p

2
+pn,n О Z

Ы
x=-  p

2
-  pn

3
,n О Z

.

Осталось исключить корни, для которых
ж
и
-  p

2
ц
ш
-pn+  7p

4
=  p

2
+pk

Ы
-  1

4
=k+n

Ы -4k-4n=1.

Полученное уравнение не имеет решений в целых числах, так как правая часть не делится на 2, а левая — делится.

Следовательно, все найденные корни удовлетворяют неравенству
3x+  7p

4
 p

2
+pk,k О Z

.

Ответ:


-  p

2
-  pn

3
,n О Z

.


2.4.C04

a) Решите уравнение 
tan ж
и
9x-  5p

8
ц
ш
= ctg
ж
и
-  p

4
-2x ц
ш

.

Решение. Воспользуемся формулой приведения:
ctg
ж
и
-  p

4
-2x ц
ш
=tan ж
и
 p

2
- ж
и
-  p

4
-2x ц
ш
ц
ш
=tan ж
и
 3p

4
+2x ц
ш

.

Уравнение принимает вид
tan ж
и
9x-  5p

8
ц
ш
=tan ж
и
 3p

4
+2x ц
ш

.

Полученное уравнение равносильно системе:
м
п
п
п
н
п
п
п
о
9x-  5p

8
=  3p

4
+2x+pn,n О Z,
9x-  5p

8
 p

2
+pk,k О Z
Ы м
п
п
п
н
п
п
п
о
7x=  11p

8
+pn,n О Z,
9x-  5p

8
 p

2
+pk,k О Z.

Выразим x из уравнения 
7x=  11p

8
+pn,n О Z

. Получим
x=  11p

56
+  pn

7
,n О Z

.

Осталось найти n, при которых неравенство 
9x-  5p

8
 p

2
+pk,k О Z

не выполняется хотя бы при одном k. Составим уравнение относительно n и k:
 99p

56
+  9pn

7
-  5p

8
=  p

2
+pkЫ  72n+64

56
=  56k+28

56
Ы 56k-72n=36Ы 14k-18n=9

.

Поскольку левая часть уравнения является четным числом при любых целых значениях k и n, а правая часть — нечетное число, то уравнение не имеет целочисленных решений. Условие 
9x-  5p

8
 p

2
+pk

выполняется при всех целых значениях k. Поэтому все найденные числа являются корнями данного уравнения.

Ответ:


x=  11p

56
+  pn

7
,n О Z

.


2.4.C05

б) Найдите наименьший положительный корень уравнения
sin ж
и
x+  p

6
ц
ш
cos ж
и
3x-  p

4
ц
ш
=0

.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
й
к
к
к
к
к
к
к
л
sin ж
и
x+  p

6
ц
ш
=0,
cos ж
и
3x-  p

4
ц
ш
=0
Ы
й
к
к
к
к
к
к
к
л
x+  p

6
=pk,k О Z
3x-  p

4
=  p

2
+pn,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=-  p

6
+pk,k О Z,
x=  p

4
+  pn

3
,n О Z.

Найдем наименьшее k, при котором 
-  p

6
+pk

положительно:
-  p

6
+pk > 0

Ы
k >  1

6

. Наименьшее целое k равно 1. При этом 
x=  5p

6

.

Найдем наименьшее n, при котором 
 p

4
+  pn

3

положительно:
 p

4
+  pn

3
> 0

Ы
n > -  3

4

. Наименьшее целое n равно 0. При этом 
x=  p

4

.

Выбрав из двух чисел наименьшее, находим 
x=  p

4

.

Ответ:


 p

4

.


2.4.D03

a) Найдите сумму 48 последовательных положительных корней уравнения 
ctg
ж
и
 7p

4
-  px

5
ц
ш
=tan ж
и
 p

4
+  2px

5
ц
ш

, начиная с наименьшего положительного корня.

Решение. Воспользуемся формулой приведения:
tan ж
и
 p

4
+  2px

5
ц
ш
= ctg
ж
и
 p

2
-  p

4
-  2px

5
ц
ш
= ctg
ж
и
 p

4
-  2px

5
ц
ш

.

Данное уравнение принимает вид
ctg
ж
и
 7p

4
-  px

5
ц
ш
= ctg
ж
и
 p

4
-  2px

5
ц
ш

.

Полученное уравнение равносильно системе
м
п
п
п
н
п
п
п
о
 7p

4
-  px

5
=  p

4
-  2px

5
+pn,n О Z,
 7p

4
-  px

5
pk,k О Z.

Решим уравнение системы. Приведя подобные члены, получим
 px

5
=-  3p

2
+pn,n О Z

Ы
x=-  15

2
+5n,n О Z

.

Полученные значения удовлетворяют условию
 7p

4
-  px

5
pk,k О Z

.

Решим неравенство 
-  15

2
+5n > 0

Ы
n >  3

2

. Следовательно, учитывая, что n — целое число, получаем n і 2.

Таким образом, положительные корни данного уравнения в порядке возрастания образуют арифметическую прогрессию с первым членом 
x1=  5

2

и разностью d=5.

Найдем сумму 48 положительных корней по формуле суммы первых членов арифметической прогрессии.
S=  2x1+d(48-1)

2
·48

. Вычислив сумму, получим
S=
 5

2
+5·47

2
·48=5760.

Ответ:

5760.

 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100