Книга для учителя МЦНМО 2003


 § 4  | Оглавление | § 6 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений


§ 5. Показательные уравнения

Методы решения показательных уравнений (как, впрочем, и всех других уравнений) сборника не выходят за рамки изложенных в основных школьных учебниках.

Основными методами решения показательных уравнений являются:

Решение большинства показательных уравнений после некоторых преобразований сводится к решению одного или нескольких показательных уравнений вида af(x) = b или af(x) = ag(x) (a > 0; a 1), последнее из которых равносильно уравнению f(x) = g(x). Заметим, что переход от уравнения af(x) = ag(x) к равносильному ему уравнению f(x) = g(x) может быть объяснен различными способами. Впрочем, ученик вправе не объяснять этот переход вовсе, особенно в тех случаях, когда рассматриваемое уравнение получено в результате преобразований более сложного уравнения, и уж тем более, когда уравнение решается с помощью равносильных преобразований. В любом случае отсутствие такого объяснения едва ли следует считать недочетом. По крайней мере, его отсутствие более естественно, чем "объяснение" вроде "функция 2t возрастает, потому что 2>1", сплошь и рядом встречающееся в медальных работах.

Как уже отмечалось, одним из наиболее распространенных методов решения уравнений (в том числе и показательных) является метод замены переменной, позволяющий свести то или иное уравнение к алгебраическому (как правило, квадратному) уравнению. Так, уравнение a ·l2x + b ·lx + c = 0 сводится к квадратному уравнению заменой y = lx,  y > 0. Для решения однородного уравнения вида p ·a2x + q ·(ab)x + r ·b2x = 0 нужно обе его части разделить на b2x (заметим, что по свойству показательной функции b2x 0 ни при каких x). После деления получится уравнение
p · ж
и
 a

b
ц
ш
2x
 
+ q· ж
и
 a

b
ц
ш
x
 
+ r = 0

, которое заменой
y = ж
и
 a

b
ц
ш
x
 

y > 0, сводится к квадратному уравнению относительно y.

Приведем решения ряда показательных уравнений и систем уравнений.


2.5.B01

б) Решите уравнение 35x+2=81x-1.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению 35x+2=34x-4 Ы 5x+2=4x-4 Ы x=-6.

Ответ:

-6.


2.5.B02

a) Решите уравнение 2004x2-9=1999x2-9.

Решение. Разделим обе части уравнения на 1999x2-9. Получим равносильное уравнение
ж
и
 2004

1999
ц
ш
x2-9
 
=1Ы x2-9=0Ы й
к
к
к
л
x=3,
x=-3.

Ответ:

-3;3.


2.5.B06

б) Решите уравнение
42x+1+3·42x-1-5·42x=-64.

Решение. Вынесем за скобки общий множитель 42x-1 в левой части: 42x-1(16+3-20)=-64Ы -42x-1=-64Ы 42x-1=64Ы 2x-1=3Ы x=2.

Ответ:

2.


2.5.C02

a) Решите уравнение 43x2+x-28=-3·8x2+[ 1/3]x.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению (23x2+x)2-28=-3·23x2+x.

Сделаем замену переменной. Пусть y=23x2+x. Получаем уравнение
y2-28=-3y Ы y2+3y-28=0 Ы й
к
к
к
л
y=4,
y=-7.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
л
23x2+x=4,
23x2+x=-7
Ы 3x2+x=2Ы й
к
к
к
к
к
л
x=-1,
x=  2

3
.

Ответ:


-1;  2

3

.


2.5.C05

б) Решите уравнение 16x-31·2[(3x-5)/2]=2-x.

Решение. Умножим обе части уравнения на 2x. Получим равносильное уравнение 
32x-31·2[(5x-5)/2]=1Ы 32·32x-1-31(Ц2)5x-5-1=0Ы 32·25x-5-31(Ц2)5x-5-1=0Ы 32 ж
и
(Ц2)5x-5 ц
ш
2
 
-31(Ц2)5x-5-1=0

.

Сделаем замену переменной. Пусть y=(Ц2)5x-5. Получим уравнение 32y2-31y-1=0. Решив его, найдем
й
к
к
к
к
к
л
y=1,
y=-  1

32
.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
к
к
л
(Ц2)5x-5=1,
(Ц2)5x-5=-  1

32
Ы5x-5=0Ы x=1.

Ответ:

1.


2.5.D03

a) Решите уравнение 252Ц{x+3}-6·52Ц{x+3}+5=0.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть 52Ц{x+3}=y. Уравнение принимает вид
y2-6y+5=0 Ы й
к
к
к
л
y=1,
y=5.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
л
52Ц{x+3}=1,
52Ц{x+3}=5
Ы й
к
к
к
к
к
л
2
Ц
 

x+3
 
=0,
2
Ц
 

x+3
 
=1
Ы й
к
к
к
к
к
л
x=-3,
x=-  11

4
.

Ответ:


-3;-  11

4

.


2.5.D06

б) Решите уравнение 49[ 3/(x)]-42[ 3/(x)]=3·36[ 3/(x)].

Решение. Представим 42[ 3/(x)] в виде 7[ 3/(x)]·6[ 3/(x)].

Получим уравнение 49[ 3/(x)]-7[ 3/(x)]·6[ 3/(x)]=3·36[ 3/(x)].

Разделив обе части на 36[ 3/(x)], придем к равносильному уравнению
ж
и
 49

36
ц
ш
[ 3/(x)]
 
- ж
и
 7

6
ц
ш
[ 3/(x)]
 
=3

Ы
ж
и
 7

6
ц
ш
[ 6/(x)]
 
- ж
и
 7

6
ц
ш
[ 3/(x)]
 
-3=0

.

Сделаем замену переменной. Пусть 
y= ж
и
 7

6
ц
ш
[ 3/(x)]
 

. Получим уравнение y2-y-3=0 Ы
й
к
к
к
к
к
к
к
л
y=  1+Ц{13}

2
,
y=  1-Ц{13}

2
.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
к
к
к
к
л
ж
и
 7

6
ц
ш
[(3)/(x)]

 
=  Ц{13}+1

2
,
ж
и
 7

6
ц
ш
[(3)/(x)]

 
=  1-Ц{13}

2
Ы
ж
и
 7

6
ц
ш
[ 3/(x)]

 
=

Ц
 

13
 
+1

2
Ы  3

x
=log[ 7/6]

Ц
 

13
 
+1

2
Ы x=3log[(Ц{13}+1)/2]  7

6
.

Ответ:


3log[(Ц{13}+1)/2]  7

6

.


2.5.D09

a) Решите уравнение
4x-13·3x-1/2=3x+[ 1/2]-7·22x-1.

Решение. Перегруппируем члены так, чтобы в каждой из частей уравнения степени имели одинаковые основания: 4x+7·22x-1=3x+[ 1/2]+13·3x-1/2 Ы 4x+7·4x-1/2=3x+[ 1/2]+13·3x-1/2.

В левой части за скобки вынесем общий множитель 4x-1/2, в правой — общий множитель 3x-1/2:

4x-1/2(41/2+7)=3x-1/2(3+13)Ы  4x-1/2

3x-1/2
=  16

9
Ы ж
и
 4

3
ц
ш
x-[ 1/2]

 
=  16

9
Ы x-  1

2
=2Ы x=  5

2
.

Ответ:


 5

2

.


2.5.D12

б) Решите уравнение 
 5x-2·5-x

5x+2·5-x
=  3

7

.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению

5x-  2

5x

5x+  2

5x
=  3

7

.

Сделаем замену переменной. Пусть y=5x. Уравнение принимает вид
y-  2

y

y+  2

y
=  3

7
Ы м
п
п
н
п
п
о
 y2-2

y2+2
=  3

7
,
y 0
Ы й
к
к
к
л
y=Ц5,
y=-Ц5.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
л
5x=Ц5,
5x=-Ц5
Ы 5x=Ц5 Ы 5x=51/2 Ы x=  1

2
.

Ответ:


 1

2

.


2.5.B11

б) Решите систему уравнений
м
п
н
п
о
3x+3·3y=54,
4·3x-3·3y=81.

Решение. Сделаем замену переменных. Пусть u=3x;v=3y. Получаем систему двух линейных уравнений
м
п
н
п
о
u+3v=54,
4u-3v=81,
Ы м
п
н
п
о
u=27,
v=9.

Сделаем обратную замену:
м
п
н
п
о
3x=27,
3y=9
Ы м
п
н
п
о
x=3,
y=2.

Ответ:

(3;2)


2.5.D04

a) Найдите все пары (x;y) положительных чисел x и y, являющиеся решениями системы уравнений
м
п
н
п
о
x4y-1=8,
xy+3=16.

Решение. По условию x > 0,y > 0. Прологарифмируем оба уравнения по основанию 2.
Получим систему
м
п
н
п
о
(4y-1)log2x=3,
(y+3)log2x=4.

Заметим, что 
y=  1

4

и x=1 не являются решениями системы. Разделим почленно второе уравнение на первое:
 y+3

4y-1
=  4

3
.

Из полученного уравнения найдем y:
3(y+3)=4(4y-1)Ы 13y=13 Ы y=1.

Тогда 
log2x=  3

4-1
Ы x=2

.

Ответ:

(2;1).


2.5.D11

б) Решите уравнение
4sin2x+12=4 ж
и
 1

2
ц
ш
cos2x-2
 
.

Решение. Приведем степени к основанию 2:
22sin2x+12=4·22-cos2x Ы22sin2x+12=4·21+sin2xЫ22sin2x-8·2sin2x+12=0.

Сделаем замену переменной. Пусть y=2sin2x. Получаем уравнение
y2-8y+12=0 Ы й
к
к
к
л
y=2,
y=6.

Сделаем обратную замену:

й
к
к
к
л
2sin2x=2,
2sin2x=6
Ы й
к
к
к
л
sin2x=1,
sin2x=log26
Ы й
к
к
к
л
sin2x=1,
sin2x=1+log23.

Уравнение sin2x=1+log23 не имеет решений, так как 1+log23 > 1.


sin2x=1 Ы x=  p

2
+pk,k О Z.

Ответ:


 p

2
+pk,k О Z

.


 § 4  |  Оглавление  |  § 6 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100