Предисловие | Оглавление | Глава 1. § 1 

Глава 1.
Подобные треугольники

Основные сведения

1.

Треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C₁ (обозначение: DABC ~ DA₁B₁C₁) тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

а) AB : BC : CA = A₁B₁ : B₁C₁ : C₁A₁;

б) AB : BC = A₁B₁ : B₁C₁ и РABC = РA₁B₁C₁;

в) РABC = РA₁B₁C₁ и РBAC = РB₁A₁C₁.

2.

Если параллельные прямые отсекают от угла с вершиной A треугольники AB₁C₁ и AB₂C₂, то эти треугольники подобны и AB₁ : AB₂ = AC₁ : AC₂ (точки B₁ и B₂ лежат на одной стороне угла, C₁ и C₂ — на другой).

3.

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Этот отрезок параллелен третьей стороне и равен половине ее длины.

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Этот отрезок параллелен основаниям и равен полусумме их длин.

4.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т. е. квадрату отношения длин соответствующих сторон. Это следует, например, из формулы

SABC =

1 2

AB · AC sin A

.

5.

Многоугольники A₁A₂… A_n и B₁B₂… B_n называют подобными , если A₁A₂ : A₂A₃ : …  : A_nA₁ = B₁B₂ : B₂B₃ : …  : B_nB₁ и углы при вершинах A₁,…, A_n равны соответственно углам при вершинах B₁, …, B_n.

Отношение соответственных диагоналей подобных многоугольников равно коэффициенту подобия; для описанных подобных многоугольников отношение радиусов вписанных окружностей также равно коэффициенту подобия.

Вводные задачи

1.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что A₁C · BC = B₁C · AC.

2.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. Докажите, что AC² = AB · AH и CH² = AH · BH.

3.

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

4.

На стороне BC треугольника ABC взята точка A₁ так, что BA₁ : A₁C = 2 : 1. В каком отношении медиана CC₁ делит отрезок AA₁?

5.

В треугольник ABC вписан квадрат PQRS так, что вершины P и Q лежат на сторонах AB и AC, а вершины R и S — на стороне BC. Выразите длину стороны квадрата через a и h_a.

 Предисловие | Оглавление | Глава 1. § 1 

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.