Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 10. § 7 \|	Оглавление \|	Глава 10. § 9

§ 8. Неравенства для площади треугольника

10.53.: Докажите, что:

а) 3Ц3r² Ј S Ј p²/3Ц3;

б) S Ј (a² + b² + c²)/4Ц3.

10.54^*.: Докажите, что a² + b² + c² – (a – b)² – (b – c)² – (c – a)² і 4Ц3 S.

10.55^*.: Докажите, что

а) S³ Ј (Ц3/4)³(abc)²;

б)
3

Ц

h_ah_bh_c

Ј
4

Ц

3

ЦS Ј
3

Ц

r_ar_br_c

.

* * *

10.56^*.: На сторонах BC,CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁,B₁ и C₁, причем AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что S_A₁B₁C₁/S_ABC Ј 1/4.

10.57^*.

На сторонах BC,CA и AB треугольника ABC взяты произвольные точки A₁,B₁ и C₁. Пусть a = S_AB₁C₁,b = S_A₁BC₁, c = S_A₁B₁C и u = S_A₁B₁C₁. Докажите, что

u³ + (a + b + c)u² і 4abc.

10.58^*.: На сторонах BC,CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁,B₁ и C₁. Докажите, что площадь одного из треугольников AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C не превосходит:

а) S_ABC/4;

б) S_A₁B₁C₁.

См. также задачи 9.33, 9.37, 9.40, 10.9, 20.1, 20.7.

Глава 10. § 7 \|	Оглавление \|	Глава 10. § 9

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.