Глава 12. § 7  |	Оглавление |	Глава 12. § 9

§ 8.  Окружности

12.61.

Окружность S с центром O на основании BC равнобедренного треугольника ABC касается равных сторон AB и AC. На сторонах AB и AC взяты точки P и Q так, что отрезок PQ касается окружности S. Докажите, что тогда 4PB · CQ = BC².

Рис. 12.3

12.62^*. Пусть E- середина стороны AB квадрата ABCD, а точки F и G выбраны на сторонах BC и CD так, что AG||EF. Докажите, что отрезок FG касается окружности, вписанной в квадрат ABCD.

12.63^*. Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, а две другие- на хорде или ее продолжении (рис. 12.3). Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

12.64^*. Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

*       *      *

12.65^*.

В окружность вписан квадрат, а в сегмент, отсеченный от круга из сторон этого квадрата, вписан другой квадрат. Найдите отношение длин сторон этих квадратов.

12.66^*.

На отрезке AB взята точка точка C и на отрезках AC,BC и AB как на диаметрах построены полуокружности, лежащие по одну сторону от прямой AB. Через точку C проведена прямая, перпендикулярная AB, и в образовавшиеся криволинейные треугольники ACD и BCD вписаны окружности S₁ и S₂ (рис. 12.4). Докажите, что радиусы этих окружностей равны.

Рис. 12.4 Рис. 12.5

12.67^*.

Центры окружностей с радиусами 1,3 и 4 расположены на сторонах AD и BC прямоугольника ABCD. Эти окружности касаются друг друга и прямых AB и CD так, как показано на рис. 12.5. Докажите, что существует окружность, касающаяся всех этих окружностей и прямой AB.

Глава 12. § 7  |	Оглавление |	Глава 12. § 9

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.