Глава 13 |	Оглавление |	Глава 13. § 2

§ 1.  Векторы сторон многоугольников

13.1. а) Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник.

б) Из медиан треугольника ABC составлен треугольник A₁B₁C₁, а из медиан треугольника A₁B₁C₁ составлен треугольник A₂B₂C₂. Докажите, что треугольники ABC и A₂B₂C₂ подобны, причем коэффициент подобия равен 3/4.

13.2. Стороны треугольника T параллельны медианам треугольника T₁. Докажите, что медианы треугольника T параллельны сторонам треугольника T₁.

13.3. M₁, M₂, ј, M₆ - середины сторон выпуклого шестиугольника A₁A₂јA₆. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M₁M₂, M₃M₄, M₅M₆.

13.4. Из точки, лежащей внутри выпуклого n-угольника, проведены лучи, перпендикулярные его сторонам и пересекающие стороны (или их продолжения). На этих лучах отложены векторы a₁, ј, a_n, длины которых равны длинам соответствующих сторон. Докажите, что a₁ + ј + a_n = 0.

13.5. Сумма четырех единичных векторов равна нулю. Докажите, что их можно разбить на две пары противоположных векторов.

13.6. Пусть E и F - середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD, K, L, M и N - середины отрезков AF, CE, BF и DE. Докажите, что KLMN - параллелограмм.

13.7^*. Дано n попарно не сонаправленных векторов (n і 3), сумма которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый n-угольник, набор векторов сторон которого совпадает с данным набором векторов.

13.8^*. Даны четыре попарно непараллельных вектора, сумма которых равна нулю. Докажите, что из них можно составить: а) невыпуклый четырехугольник; б) самопересекающуюся четырехзвенную ломаную.

13.9^*. Даны четыре попарно непараллельных вектора a, b, c и d, сумма которых равна нулю. Докажите, что

|a| + |b| + |c| + |d| > |a + b| + |a + c| + |a + d|.

13.10^*. В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона BC параллельна диагонали AD, CD||BE, DE||AC и AE||BD. Докажите, что AB||CE.

Глава 13 |	Оглавление |	Глава 13. § 2

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.