Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 13. § 1  |  Оглавление |  Глава 13. § 3

§ 2.  Скалярное произведение. Соотношения

13.11. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.

13.12. а) Пусть A, B, C и D - произвольные точки плоскости. Докажите, что
( ®
AB
 
®
CD
 
) + ( ®
BC
 
®
AD
 
) + ( ®
CA
 
®
BD
 
) = 0

.

б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

13.13. Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает тем свойством, что
®
OH
 
 =  ®
OA
 
 +  ®
OB
 
 +  ®
OC
 

. Докажите, что H - точка пересечения высот треугольника ABC.

13.14. Пусть a1јan - векторы сторон n-угольника, jij = Р(aiaj). Докажите, что
a12 = a22 + ј + an2 + 2
е
i > j > 1 
ai ajcos jij

, где ai = |ai|.

13.15. Дан четырехугольник ABCD. Пусть u = AD2, v = BD2, w = CD2, U = BD2 + CD2 – BC2, V = AD2 + CD2 – AC2, W = AD2 + BD2 – AB2. Докажите, что uU2 + vV2 + wW2 = UVW + 4uvw (Гаусс).

13.16*. Точки A, B, C и D таковы, что для любой точки M числа
( ®
MA
 
®
MB
 
)

и 
( ®
MC
 
®
MD
 
)

различны. Докажите, что
®
AC
 
 =  ®
DB
 

.

13.17*. Докажите, что в выпуклом k-угольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон постоянна тогда и только тогда, когда сумма векторов единичных внешних нормалей равна нулю.

13.18*. В выпуклом четырехугольнике сумма расстояний от вершины до сторон одна и та же для всех вершин. Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом.


  Глава 13. § 1  |  Оглавление |  Глава 13. § 3

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100