Глава 13. § 2  |	Оглавление |	Глава 13. § 4

§ 3.  Неравенства

13.19. Даны точки A, B, C и D. Докажите, что AB² + BC² + CD² + DA² і AC² + BD², причем равенство достигается, только если ABCD - параллелограмм.

13.20. Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длины суммы оставшихся трех векторов.

13.21. Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.

13.22. Точки A₁, ј, A_n лежат на окружности с центром O, причем

® OA1

+ ј +

® OAn

=

® 0

. Докажите, что для любой точки X справедливо неравенство XA₁ + ј + XA_n і nR, где R - радиус окружности.

13.23. Дано восемь вещественных чисел a, b, c, d, e, f, g, h. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.

13.24^*. На окружности радиуса 1 с центром O дано 2n + 1 точек P₁, ј, P_2n + 1, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что

|

® OP

1

+ ј +

® OP

2n + 1

| і 1

.

13.25^*. Пусть a₁, a₂, ј, a_n - векторы, длины которых не превосходят 1. Докажите, что в сумме c = ±a₁±a₂ј±a_n можно выбрать знаки так, что |c| Ј Ц2.

13.26^*. Из точки O выходит n векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку O,содержится не менее k векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит n – 2k.

Глава 13. § 2  |	Оглавление |	Глава 13. § 4

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.