Глава 13. § 4  |	Оглавление |	Глава 13. § 6

§ 5.  Вспомогательные проекции

13.35. Точка X лежит внутри треугольника ABC, a  = S_BXC, b  = S_CXA и g  = S_AXB. Пусть A₁, B₁ и C₁ - проекции точек A, B и C на произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора

a

® AA1

+ b

® BB1

+ g

® CC1

равна (a + b + g)d, где d - расстояние от точки X до прямой l.

13.36^*. Выпуклый 2n-угольник A₁A₂јA_2n вписан в окружность радиуса 1. Докажите, что

| ® A1A2    +  ® A3A4    + ј +  ® A2n – 1A2n   | Ј 2.

13.37^*. Пусть a, b и c - длины сторон треугольника ABC, n_a, n_b и n_c - векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

a3na + b3nb + c3nc = 12 S ·  ® MO   ,

где S - площадь, M - точка пересечения медиан, O - центр описанной окружности треугольника ABC.

13.38^*. Пусть O и R - центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, Z и r - центр и радиус его вписанной окружности; K - точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите, что точка Z лежит на отрезке OK, причем OZ : ZK = 3R : r.

Глава 13. § 4  |	Оглавление |	Глава 13. § 6

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.