Глава 13. § 6  |	Оглавление |	Глава 13. Задачи для самостоятельного решения

§ 7.  Псевдоскалярное произведение

Псевдоскалярным произведением ненулевых векторов a и b называют число c = |a| · |b|sin Р(a, b); если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то c = 0. Число c обозначается aЪb. Ясно, что aЪb =  – bЪa.

Абсолютная величина псевдоскалярного произведения векторов a и b равна площади параллелограмма, натянутого на эти векторы. В связи с этим ориентированной площадью тройки точек A, B и C называют число

S(A, B, C) = (

® AB

Ъ

® AC

)/2

; абсолютная величина числа S(A, B, C) равна площади треугольника ABC.

13.47. Докажите, что:

а) (la)Ъb = l(aЪb);

б) aЪ(b + c) = aЪb + aЪc.

13.48. Пусть a = (a₁, a₂) и b = (b₁, b₂). Докажите, что aЪb = a₁b₂ – a₂b₁.

13.49. а) Докажите, что S(A,B,C) =  – S(B,A,C) = S(B,C,A).

б) Докажите, что для любых точек A, B, C и D справедливо равенство S(A,B,C) = S(D,A,B) + S(D,B,C) + S(D,C,A).

13.50. Три бегуна A, B и C бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника ABC равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

13.51. По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

13.52. Решите с помощью псевдоскалярного произведения задачу 4.29, б.

13.53^*. Точки P₁, P₂ и P₃, не лежащие на одной прямой, расположены внутри выпуклого 2n-угольника A₁јA_2n. Докажите, что если сумма площадей треугольников A₁A₂P_i, A₃A₄P_i, ј, A_2n – 1A_2nP_i равна одному и тому же числу c для i = 1, 2, 3, то для любой внутренней точки P сумма площадей этих треугольников равна c.

13.54^*. Дан треугольник ABC и точка P. Точка Q такова, что CQ||AP, а точка R такова, что AR||BQ и CR||BP. Докажите, что S_ABC = S_PQR.

13.55^*. Пусть H₁, H₂ и H₃ - ортоцентры треугольников A₂A₃A₄, A₁A₃A₄ и A₁A₂A₄. Докажите, что площади треугольников A₁A₂A₃ и H₁H₂H₃ равны.

13.56^*. В выпуклом пятиугольнике ABCDE, площадь которого равна S, площади треугольников ABC, BCD, CDE, DEA и EAB равны a, b, c, d и e. Докажите, что

S2 – S(a + b + c + d + e) + ab + bc + cd + de + ea = 0.

Глава 13. § 6  |	Оглавление |	Глава 13. Задачи для самостоятельного решения

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.