Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 14. § 2 \|	Оглавление \|	Глава 14. § 4

§ 3. Момент инерции

Величину I_M = m₁MX₁² + ј + m_nMX_n² называют моментом инерции системы точек X₁, ј, X_n с массами m₁, ј, m_n относительно точки M.

14.19.: Пусть O - центр масс системы точек, суммарная масса которой равна m. Докажите, что моменты инерции этой системы относительно точки O и произвольной точки X связаны соотношением I_X = I_O + mXO².

14.20.

а) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с единичными массами равен

е
i < j

a_ij²

, где n - число точек, a_ij - расстояние между точками с номерами i и j.

б) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с массами m₁, ј, m_n, равен

е
i < j

m_i m_j a_ij²

, где m = m₁ + ј + m_n, a_ij - расстояние между точками с номерами i и j.

14.21.: а) Треугольник ABC правильный. Найдите геометрическое место таких точек X, что AX² = BX² + CX².

б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник относительно треугольника ABC прямоугольный.

14.22.: Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, H - точка пересечения высот. Докажите, что a² + b² + c² = 9R² – OH².

14.23.: Хорды AA₁, BB₁ и CC₁ окружности с центром O пересекаются в точке X. Докажите, что (AX/XA₁) + (BX/XB₁) + (CX/XC₁) = 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на окружности с диаметром OM, где M - центр масс треугольника ABC.

14.24^*.: На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие точки A₁ и B₂, B₁ и C₂, C₁ и A₂, что отрезки A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA₁ · PA₂ + PB₁ · PB₂ + PC₁ · PC₂ = R² – OP², где O - центр описанной окружности.

14.25^*.: Внутри окружности радиуса R расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит n²R².

14.26^*.

Внутри треугольника ABC взята точка P. Пусть d_a, d_b и d_c - расстояния от точки P до сторон треугольника, R_a, R_b и R_c - расстояния от нее до вершин. Докажите, что

3(d_a² + d_b² + d_c²) і (R_asin A)² + (R_b sin B)² + (R_c sin C)².

14.27^*.: Точки A₁, ј, A_n лежат на одной окружности, а M - их центр масс. Прямые MA₁, ј, MA_n пересекают эту окружность в точках B₁, ј, B_n (отличных от A₁, ј, A_n). Докажите, что MA₁ + ј + MA_n Ј MB₁ + ј + MB_n.

Глава 14. § 2 \|	Оглавление \|	Глава 14. § 4

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.