| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 5. Барицентрические координаты
Пусть на плоскости задан треугольник A1A2A3. Если точка X
является центром масс вершин этого треугольника с массами m1,
m2 и m3, то числа (m1 : m2 : m3) называют
барицентрическими координатами точки X относительно
треугольника A1A2A3.
-
14.32.
-
Пусть задан треугольник A1A2A3. Докажите, что:
а) любая точка X имеет некоторые барицентрические
координаты относительно него;
б) при условии m1 + m2 + m3 = 1 барицентрические координаты точки X
определены однозначно.
-
14.33.
-
Докажите, что барицентрические координаты точки X,
лежащей внутри треугольника ABC, равны (SBCX : SCAX : SABX).
-
14.34.
-
Точка X лежит внутри треугольника ABC. Прямые,
проходящие через точку X параллельно AC и BC, пересекают
сторону AB в точках K и L соответственно. Докажите, что
барицентрические координаты точки X равны (BL : AK : LK).
-
14.35.
-
Найдите барицентрические координаты а) центра
описанной окружности; б) центра вписанной окружности;
в) ортоцентра треугольника.
-
14.36.
-
Точка X имеет барицентрические координаты (a : b : g),
причем a + b + g
= 1. Докажите, что
.
-
14.37.
-
Пусть (a : b : g) - барицентрические координаты
точки X, причем a + b + g
= 1; M - центр масс
треугольника ABC.
Докажите, что
| 3 |
®
XM
|
= (a – b) |
®
AB
|
+ (b – g) |
®
BC
|
+ (g – a) |
®
CA
|
|
.
-
14.38*.
-
Пусть M - центр масс треугольника ABC, X -
произвольная точка. На прямых BC, CA и AB взяты точки A1,
B1 и C1 так, что A1X||AM, B1X||BM и C1X||CM.
Докажите, что центр масс M1 треугольника A1B1C1 совпадает
с серединой отрезка MX.
-
14.39*.
-
Найдите уравнение описанной окружности треугольника A1A2A3
в барицентрических координатах.
-
14.40*.
-
а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами
(a : b : g) и (a – 1 : b – 1 : g – 1)
изотомически сопряжены относительно треугольника ABC.
б) Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c.
Докажите, что точки с барицентрическими координатами
(a : b : g) и (a2/a : b2/b : c2/g)
изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.
-
14.41*.
-
На прямых AB, BC, CA даны точки C1 и C2, A1 и A2, B1 и
B2. Точки C1 и C2 определяют числа g1 и g2, для
которых
и
; числа
a1, a2, b1, b2 определяются аналогично. Докажите,
что прямые A2B1, B2C1 и C2A1 пересекаются в одной точке тогда и
только тогда, когда
|
a1b1g1 + a2b2g2 + a1a2 + b1b2 + g1g2 = 1. |
|
Замечание.
При a2 = b2 = g2 = 0 точки A2, B2, C2
совпадают с B, C, A; в этом случае получаем теорему Чевы.
При a1a2 = b1b2 = g1g2 = 1
совпадают точки A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2.
(Действительно, совпадение точек A1 и A2 эквивалентно
тому, что
; это
равенство эквивалентно равенству a1a2 = 1.) Прямые
A1B1, B1C1 и C1A1 пересекаются в одной точке тогда и
только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем
теорему Менелая.
Глава 14. § 4 | 
