Глава 14. § 5  |	Оглавление |	Глава 14. Решения

§ 6.  Трилинейные координаты

Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если (a : b :  g) - барицентрические координаты точки X относительно треугольника ABC, то

(x  : y  :  z) =

ж и

a a

:

b b

:

g c

ц ш

- ее трилинейные координаты . Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.

Для точки X, лежащей внутри треугольника ABC, в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников (S_BCX  : S_CAX  : S_ABX). Это означает, что в качестве трилинейных координат можно взять расстояния от точки X до сторон треугольника. Если точка X лежит вне треугольника, то расстояния до сторон нужно взять с учетом знака. Например, если точки X и A лежат по одну сторону от прямой BC, то x > 0, а если по разные, то x < 0.

В трилинейных координатах изогональное сопряжение задается формулой (x  : y  : z)®(x ^– 1  : y ^– 1 : z ^– 1). В связи с этим трилинейные координаты часто бывают удобны при работе с изогональным сопряжением.

14.42^*.

Продолжения сторон выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках P и Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис внешних углов при вершинах A и C, B и D, P и Q лежат на одной прямой.

14.43^*.

На сторонах AD и DC выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P и Q так, что РABP = РCBQ. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке E. Докажите, что РABE = РCBD.

14.44^*.

Найдите трилинейные координаты точек Брокара.

14.45^*.

Найдите уравнения в трилинейных координатах для: а) описанной окружности; б) вписанной окружности; в) вневписанной окружности.

14.46^*.

Найдите уравнение окружности девяти точек в трилинейных координатах.

14.47^*.

а) Докажите, что в трилинейных координатах любая окружность задается уравнением вида

(px + qy + rz)(xsin a + ysin b + zsin g)  =  yzsin a + xzsin b + xysin g.

14.48^*.

Докажите, что касательная к вписанной окружности в точке (x₀:y₀:z₀) задается уравнением

x Ц x0 cos   a 2  +   y Ц y0 cos   b 2  +   z Ц z0 cos   g 2  = 0.

14.49^*.

Докажите, что вписанная окружность касается окружности девяти точек (Фейербах). Найдите трилинейные координаты точки касания.

14.50^*.

а) Найдите трилинейные координаты вершин треугольника Брокара.

Глава 14. § 5  |	Оглавление |	Глава 14. Решения

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.