Глава 18. Решения  |	Оглавление |	Глава 19. § 1

Глава 19.
Гомотетия и поворотная гомотетия

Основные сведения

1. Гомотетией называют преобразование плоскости, переводящее точку X в точку Xў, обладающую тем свойством, что

® OXў

= k

® OX

(точка O и число k фиксированы). Точку O называют центром гомотетии, а число k - коэффициентом гомотетии.

Гомотетию с центром O и коэффициентом k будем обозначать H_O^k.

2. Две фигуры называют гомотетичными, если одна из них переходит в другую при некоторой гомотетии.

3. Поворотной гомотетией называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берется композиция, несуществен, так как R_O^j°H_O^k = H_O^k°R_O^j.

Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как R_O^180°°H_O^k = H_O ^– k.

4. Композиция двух гомотетий с коэффициентами k₁ и k₂, где k₁k₂ № 1, является гомотетией с коэффициентом k₁k₂, причем ее центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий (см. задачу 19.24).

5. Центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок CD, является точка пересечения описанных окружностей треугольников ACP и BDP, где P - точка пересечения прямых AB и CD (см. задачу 19.42).

Вводные задачи

1.

Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.

2.

Две окружности касаются в точке K. Прямая, проходящая через точку K, пересекает эти окружности в точках A и B. Докажите, что касательные к окружностям, проведенные через точки A и B, параллельны.

3.

Две окружности касаются в точке K. Через точку K проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках A и B, вторую - в точках C и D. Докажите, что AB||CD.

4.

Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

5.

На плоскости даны точки A и B и прямая l. По какой траектории движется точка пересечения медиан треугольников ABC, если точка C движется по прямой l?

Глава 18. Решения  |	Оглавление |	Глава 19. § 1

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.