Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 19 |  Оглавление |  Глава 19. § 2

§ 1.  Гомотетичные многоугольники

19.1.
Четырехугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что их точки пересечения медиан образуют параллелограмм.
19.2.
Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке K, а ее диагонали - в точке L. Докажите, что точки K, L, M и N, где M и N - середины оснований BC и AD, лежат на одной прямой.
19.3.
В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.
19.4.
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M; P - произвольная точка. Прямая la проходит через точку A параллельно прямой PA1; прямые lb и lc определяются аналогично. Докажите, что:
а) прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке Q;

б) точка M лежит на отрезке PQ, причем PM : MQ = 1 : 2.

19.5.
Окружность S касается равных сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что середина отрезка PK является центром вписанной окружности треугольника ABC.
19.6*.
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что этот многоугольник описанный.
19.7*.
Пусть R и r - радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что R і 2r, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.
19.8*.
Пусть M - центр масс n-угольника A1јAn; M1јMn - центры масс (n – 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A1ј, An соответственно. Докажите, что многоугольники A1јAn и M1јMn гомотетичны.
19.9*.
Докажите, что любой выпуклый многоугольник F содержит два непересекающихся многоугольника F1 и F2, подобных F с коэффициентом 1/2.
См. также задачу 5.97.


  Глава 19 |  Оглавление |  Глава 19. § 2

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100