Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 19. § 4  |  Оглавление |  Глава 19. § 6

§ 5.  Поворотная гомотетия

19.27.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Прямые p и q, проходящие через точку A, пересекают окружность S1 в точках P1 и Q1, а окружность S2 - в  точках P2 и Q2. Докажите, что угол между прямыми P1Q1 и P2Q2 равен углу между окружностями S1 и S2.
19.28.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. При поворотной гомотетии P с центром A, переводящей S1 в S2, точка M1 окружности S1 переходит в M2. Докажите, что прямая M1M2 проходит через точку B.
19.29.
Окружности S1јSn проходят через точку O. Кузнечик из точки Xi окружности Si прыгает в точку Xi + 1 окружности Si + 1 так, что прямая XiXi + 1 проходит через точку пересечения окружностей Si и Si + 1, отличную от точки O. Докажите, что после n прыжков (с окружности S1 на S2, с S2 на S3ј, с Sn на S1) кузнечик вернется в исходную точку.
19.30.
Две окружности пересекаются в точках A и B, а хорды AM и AN касаются этих окружностей. Треугольник MAN достроен до параллелограмма MANC и отрезки BN и MC разделены точками P и Q в равных отношениях. Докажите, что РAPQ = РANC.
19.31.
Даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Докажите, что существуют ровно две поворотные гомотетии с углом поворота 90°, переводящие S1 в S2.

*       *      *


19.32.
Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат соответственно на сторонах AB и BC, причем BP = BQ. Пусть H - основание перпендикуляра, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что РDHQ = 90°.
19.33.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники: DA1BC ~ DB1CA ~ DC1AB. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC и A1B1C1 совпадают.
19.34.
Середины сторон BC и B1C1 правильных треугольников ABC и A1B1C1 совпадают (вершины обоих треугольников перечислены по часовой стрелке). Найдите величину угла между прямыми AA1 и BB1, а также отношение длин отрезков AA1 и BB1.
19.35.
Треугольник ABC при поворотной гомотетии переходит в  треугольник A1B1C1; O - произвольная точка. Пусть A2 - вершина параллелограмма OAA1A2; точки B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что DA2B2C2 ~ DABC.
19.36*.
На прямоугольную карту положили карту той же местности, но меньшего масштаба. Докажите, что можно проткнуть иголкой сразу обе карты так, чтобы точка прокола изображала на обеих картах одну и ту же точку местности.
19.37*.
Поворотные гомотетии P1 и P2 с центрами A1 и A2 имеют один и тот же угол поворота, а произведение их коэффициентов равно 1. Докажите, что композиция P2°P1 является поворотом, причем его центр совпадает с центром другого поворота, переводящего A1 в A2 и имеющего угол поворота
2Р( ®
MA1
 
®
MN
 
)

, где M - произвольная точка и N = P1(M).
19.38*.
Треугольники MAB и MCD подобны, но имеют противоположные ориентации. Пусть O1 - центр поворота на угол
2Р( ®
AB
 
®
BM
 
)

, переводящего A в C, а O2 - центр поворота на угол
2Р( ®
AB
 
®
AM
 
)

, переводящего B в D. Докажите, что O1 = O2.

*       *      *


19.39*.
Дана полуокружность с диаметром AB. Для каждой точки X этой полуокружности на луче XA откладывается точка Y так, что XY = k XB. Найдите ГМТ Y.
19.40*.
На стороне AB треугольника ABC дана точка P. Впишите в треугольник ABC треугольник PXY, подобный данному треугольнику LMN.
19.41*.
Постройте четырехугольник ABCD по РB + РD, a = AB, b = BC, c = CD и d = DA.
См. также задачу 5.133.


  Глава 19. § 4  |  Оглавление |  Глава 19. § 6

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100