Глава 1. § 3  |	Оглавление |	Глава 1. § 5

§ 4.  Вспомогательные равные треугольники

1.40.

Катет BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C разделен точками D и E на три равные части. Докажите, что если BC = 3AC, то сумма углов AEC, ADC и ABC равна 90°.

1.41.

Точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, а точка L делит диагональ AC в отношении AL : LC = 3 : 1. Докажите, что угол KLD прямой.

1.42.

Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l₁ и l₂, пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB₁, BB₂, DD₁ и DD₂ на эти прямые. Докажите, что отрезки B₁B₂ и D₁D₂ равны и перпендикулярны.

1.43.

На катетах CA и CB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC выбраны точки D и E так, что CD = CE. Продолжения перпендикуляров, опущенных из точек D и C на прямую AE, пересекают гипотенузу AB в точках K и L. Докажите, что KL = LB.

1.44^*.

На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырехугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d, с×а и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.

1.45^*.

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причем AB = CD = EF = R. Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной R.

1.46.

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL. Докажите, что треугольник AKL правильный.

1.47.

На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

1.48^*.

На сторонах произвольного треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники с углами 2a, 2b и 2g при вершинах Aў, Bў и Cў, причем a + b + g  =  180°. Докажите, что углы треугольника AўBўCў равны a, b и g.

1.49^*.

На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники AB₁С и AC₁B внешним образом и BA₁C внутренним образом. Докажите, что AB₁A₁C₁ — параллелограмм.

1.50^*.

а) На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены прямоугольные треугольники ABC₁ и AB₁C, причем РC₁ = РB₁ = 90°, РABC₁  =  РACB₁ = j; M — середина BC. Докажите, что MB₁ = MC₁ и РB₁ M C₁ = 2j.

б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причем его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC.

1.51^*.

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом j при вершине.

а) M — точка медианы AA₁, (или ее продолжения), равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что РB₁MC₁ = j.

б) O — точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что РB₁OC₁  =  180°  – j.

1.52^*.

На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причем их острые углы a прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен a.

Глава 1. § 3  |	Оглавление |	Глава 1. § 5

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.