Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 1. § 4  |  Оглавление |  Глава 1. § 6

§ 5.  Треугольник, образованный основаниями высот

1.53.
Пусть AA1 и BB1 — высоты треугольника ABC. Докажите, что DA1B1C ~ DABC. Чему равен коэффициент подобия?
1.54.
Из вершины C остроугольного треугольника ABC опущена высота CH, а из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на стороны BC и AC соответственно. Докажите, что D MNC ~ DABC.
1.55.
В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1.

а) Докажите, что касательная в точке A к описанной окружности параллельна прямой B1C1.

б) Докажите, что B1C1^OA, где O — центр описанной окружности.

1.56.
На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке H. Докажите, что AH · A1H = BH · B1H = CH · C1H тогда и только тогда, когда H — точка пересечения высот треугольника ABC.
1.57.
а) Докажите, что высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC делят углы треугольника A1B1C1 пополам.

б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно. Докажите, что если РB1A1C = РBA1C1, РA1B1C = РAB1C1 и РA1C1B = РAC1B1, то точки A1, B1 и C1 являются основаниями высот треугольника ABC.

1.58.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Докажите, что точка, симметричная A1 относительно прямой AC, лежит на прямой B1C1.
1.59.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Докажите, что если A1B1||AB и B1C1||BC, то A1C1||AC.
1.60*.
Пусть p — полупериметр остроугольного треугольника ABC, q — полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот. Докажите, что p : q = R : r, где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

  Глава 1. § 4  |  Оглавление |  Глава 1. § 6

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100