Глава 20. § 4  |	Оглавление |	Глава 20. § 6

§ 5.  Выпуклая оболочка и опорные прямые

При решении задач этого параграфа рассматриваются выпуклые оболочки систем точек и опорные прямые выпуклых многоугольников.

Выпуклой оболочкой конечного набора точек называют наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все эти точки (слово «наименьший» означает, что он не содержится ни в каком другом таком многоугольнике). У любой конечной системы точек существует единственная выпуклая оболочка (рис. 20.1).

Рис. 20.1 Рис. 20.2

Опорной прямой выпуклого многоугольника называют прямую, проходящую через его вершину и обладающую тем свойством, что многоугольник лежит по одну сторону от нее. Легко проверить, что для любого выпуклого многоугольника существуют ровно две опорные прямые, параллельные данной прямой (рис. 20.2).

20.21.

Решите задачу 20.8, воспользовавшись понятием выпуклой оболочки.

20.22^*.

На плоскости даны 2n + 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что n из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведенной через выбранные точки, а n - вне ее.

20.23^*.

Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить в прямоугольник площади 2.

20.24^*.

На плоскости дано конечное число точек. Докажите, что из них всегда можно выбрать точку, для которой ближайшими к ней являются не более трех данных точек.

20.25^*.

На столе расположено n картонных и n пластмассовых квадратов, причем никакие два картонных и никакие два пластмассовых квадрата не имеют общих точек, в том числе и точек границы. Оказалось, что множество вершин картонных квадратов совпадает с множеством вершин пластмассовых квадратов. Обязательно ли каждый картонный квадрат совпадает с некоторым пластмассовым?

20.26^*.

На плоскости дано n і 4 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что если для любых трех из них найдется четвертая (тоже из данных), с которой они образуют вершины параллелограмма, то n = 4.

Глава 20. § 4  |	Оглавление |	Глава 20. § 6

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.