Глава 21. § 2  |	Оглавление |	Глава 21. Решения

§ 3.  Площадь

21.22.

В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков.

21.23^*.

Дана бесконечная клетчатая бумага и фигура, площадь которой меньше площади клетки. Докажите, что эту фигуру можно положить на бумагу, не накрыв ни одной вершины клетки.

Рис. 21.1

21.24^*. Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1 (рис. 21.1). Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов.

21.25^*.                        Попарные расстояния между точками A₁, ј, A_n больше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь которой меньше p, можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так, что она не будет содержать точек A₁, ј, A_n.

21.26^*.                        В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдется кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в  котором лежит не менее 10 из данных точек.

21.27^*.                        На плоскости дано n фигур. Пусть S_i1јik - площадь пересечения фигур с номерами i₁, ј, i_k, a S - площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; M_k - сумма всех S_i1јik. Докажите, что:

а) S = M₁ – M₂ + M₃ – ј + ( – 1)^n + 1M_n;

б) S і M₁ – M₂ + M₃ – ј + ( – 1)^m + 1M_m при m четном и S Ј M₁ – M₂ + M₃ – ј + ( – 1)^m + 1M_m при m нечетном.

21.28^*.

а) В квадрате площадью 6 расположены три многоугольника площадью 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника, площадь общей части которых не меньше 1.

21.29^*.

На кафтане площадью 1 имеется пять заплат, причем площадь каждой их них не меньше 0,5. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше 0,2.

21.30^*.

На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему отрезков A. Пусть B - дополнительная система отрезков (отрезки систем A и B не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос T, для которого пересечение B и T(A) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше p(1 – p)/2.

Глава 21. § 2  |	Оглавление |	Глава 21. Решения

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.