Глава 27 |	Оглавление |	Глава 27. § 2

§ 1.  Индукция

27.1.

Докажите, что если плоскость разбита на части прямыми и окружностями, то получившуюся карту можно раскрасить в два цвета так, что части, граничащие по дуге или отрезку, будут разного цвета.

27.2^*.

Докажите, что в выпуклом n-угольнике нельзя выбрать больше n диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку.

27.3^*.

Пусть E - точка пересечения боковых сторон AD и BC трапеции ABCD, B_n + 1 - точка пересечения прямых A_nC и BD (A₀ = A), A_n + 1 - точка пересечения прямых EB_n + 1 и AB. Докажите, что A_nB = AB/(n + 1).

27.4^*.

На прямой даны точки A₁, ј, A_n и B₁, ј, B_n – 1. Докажите, что

n е i = 1       n – 1 Х k = 1  AiBk   Х j № 1  AiAj    = 1.

27.5^*.

Докажите, что если n точек не лежат на одной прямой, то среди прямых, их соединяющих, не менее n различных.

Глава 27 |	Оглавление |	Глава 27. § 2

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.