Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 27. Решения  |  Оглавление |  Глава 28. § 1

Глава 28. § 0 Инверсия

Глава 28.
Инверсия



Основные сведения

1. Все геометрические преобразования, с которыми нам приходилось встречаться в этой книге, переводили прямые в прямые, а окружности в окружности. Инверсия - это преобразование другого типа, которое также сохраняет класс прямых и окружностей, но может прямую перевести в окружность, а окружность - в прямую. На этом и других замечательных свойствах инверсии основывается ее поразительная эффективность при решении разнообразных геометрических задач.

2. Определение. Пусть на плоскости дана окружность S с центром O и радиусом R. Инверсией относительно окружности S называют преобразование, переводящее произвольную точку A, отличную от O, в точку A*, лежащую на луче OA на расстоянии OA* = R2/OA от точки O. Инверсию относительно S будем также называть инверсией с  центром O и степенью  R2, а окружность S - окружностью инверсии.

3. Непосредственно из определения инверсии видно, что точки окружности S она оставляет на месте, точки, лежащие внутри S, переводит наружу, а точки, лежащие вне S, - внутрь S. Если точка A переходит при инверсии в A*, то точку A* эта инверсия переводит в A, т. е. (A*)* = A. Образом прямой, проходящей через центр инверсии, является сама эта прямая.

В этом месте надо сделать оговорку, связанную с тем, что инверсия не является в строгом смысле слова преобразованием плоскости, так как точка O никуда не переходит. Поэтому формально мы не имеем права говорить об «образе прямой, проходящей через точку O», а должны рассматривать объединение двух лучей, получающихся из прямой выбрасыванием точки O. Аналогично обстоит дело и с окружностями, содержащими точку O. Мы, тем не менее, будем придерживаться этих нестрогих, но зато более наглядных формулировок, надеясь, что читатель легко восстановит точный смысл.

4. Всюду в этой главе образ точки A при инверсии обозначается через A*.

5. Сформулируем важнейшие свойства инверсии, постоянно использующиеся при решении задач.

При инверсии с центром O:

а) прямая l, не содержащая O, переходит в окружность, проходящую через O (задача 28.2);

б) окружность с центром C, проходящая через O, переходит в прямую, перпендикулярную OC (задача 28.3);

в) окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O) (задача 28.3);

г) касание окружностей и прямых сохраняется, если только точка касания не совпадает с центром инверсии; в последнем случае получается пара параллельных прямых (задача 28.4);

д) величина угла между двумя окружностями (или между окружностью и прямой, или между двумя прямыми) сохраняется (задача 28.5).


  Глава 27. Решения  |  Оглавление |  Глава 28. § 1

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100