Глава 28. § 5  |	Оглавление |	Глава 28. Решения

§ 6.  Цепочки окружностей

28.38^*.

Окружности S₁, S₂, ј, S_n касаются двух окружностей R₁ и R₂ и, кроме того, S₁ касается S₂ в точке A₁, S₂ касается S₃ в точке A₂…, S_n – 1 касается S_n в  точке A_n – 1. Докажите, что точки A₁, A₂, ј, A_n – 1 лежат на одной окружности.

28.39^*.

Докажите, что если существует цепочка окружностей S₁, S₂, ј, S_n, каждая из которых касается двух соседних (S_n касается S_n – 1 и S₁) и двух данных непересекающихся окружностей R₁ и R₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T₁, касающейся R₁ и R₂ (одинаковым образом, если R₁ и R₂ не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T₁, T₂, ј, T_n (поризм Штейнера ).

28.40^*.

Докажите, что для двух непересекающихся окружностей R₁ и R₂ цепочка из n касающихся окружностей (см. предыдущую задачу) существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями T₁ и T₂, касающимися R₁ и R₂ в точках их пересечения с прямой, соединяющей центры, равен целому кратному угла 360°/n (рис. 28.5).

Рис. 28.5 Рис. 28.6

28.41^*.

Каждая из шести окружностей касается четырех из оставшихся пяти (рис. 28.6). Докажите, что для любой пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением d² = r₁² + r₂²±6r₁r₂ («плюс» - если окружности не лежат одна внутри другой, «минус» - в противном случае).

Глава 28. § 5  |	Оглавление |	Глава 28. Решения

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.