Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 29 |  Оглавление |  Глава 29. § 2

§ 1.  Аффинные преобразования

Определение. Преобразование плоскости называется аффинным, если оно непрерывно, взаимно однозначно и образом любой прямой является прямая.

Частным случаем аффинных преобразований являются движения и преобразования подобия.

Определение. Растяжением плоскости относительно оси l с коэффициентом k называется преобразование плоскости, при котором каждая точка M переходит в такую точку Mў, что
®
OMў
 
  = k ®
OM
 

, где O - проекция точки M на прямую l. (Растяжение с коэффициентом меньше единицы называется сжатием.)

29.1.
Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.
29.2.
Докажите, что при аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.
29.3.
Пусть A1, B1, C1, D1 - образы точек A, B, C, D при аффинном преобразовании. Докажите, что если
®
AB
 
  =  ®
CD
 

, то
®
A1B1
 
  =  ®
C1D1
 
.

Из предыдущей задачи вытекает, что мы можем определить образ вектора
®
AB
при аффинном отображении L как
——®
L(A)L(B)
 

, и это определение не будет зависеть от выбора точек A и B.

29.4.
Докажите, что если L - аффинное преобразование, то
а)
L( ®
0
 
 ) =  ®
0
 

;

б) L(a + b) = L(a) + L(b);

в) L(ka) = kL(a).

29.5.
Пусть Aў, Bў, Cў - образы точек A, B, C при аффинном преобразовании L. Докажите, что если C делит отрезок AB в отношении AC : CB = p : q, то Cў делит отрезок AўBў в том же отношении.
29.6.
а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку O в данную точку Oў, а данный базис векторов e1, e2 - в данный базис e1ў, e2ў.

б) Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку A в A1, B - в B1, C - в C1.

в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое один из них переводит в другой.

29.7*.
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.
29.8*.
Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании L каждая точка некоторой прямой l переходит в себя, то все прямые вида ML(M), где в качестве M берутся произвольные точки, не лежащие на прямой l, параллельны друг другу.
29.9*.
Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции двух растяжений и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.
29.10*.
На плоскости дан многоугольник A1A2… An и точка O внутри его. Докажите, что равенства
®
OA1
 
  +  ®
OA3
 
  = 2cos   2p
n
 ®
OA2
 
 ,

®
OA2
 
  +  ®
OA4
 
  = 2cos   2p
n
 ®
OA3
 
 ,

\dotfill

®
OAn – 1
 
  +  ®
OA1
 
  = 2cos   2p
n
 ®
OAn
 
 .
необходимы и достаточны для того, чтобы существовало аффинное преобразование, переводящее данный многоугольник в правильный, а точку O - в его центр.
Многоугольник, который аффинным преобразованием можно перевести в правильный многоугольник, называют аффинно правильным.

29.11*.
Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.
29.12*.
Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.
29.13*.
Докажите, что если Mў и Nў - образы многоугольников M и N при аффинном преобразовании, то отношение площадей M и N равно отношению площадей Mў и Nў.
  Глава 29 |  Оглавление |  Глава 29. § 2
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100