| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 3. Комплексные числа
Комплексным числом называют выражение вида a + bi, где a и b -
вещественные числа, а i - символ, удовлетворяющий соотношению i2 = – 1.
Если z = a + bi, то числа a и b называют соответственно вещественной и
мнимою частью числа z (обозначение:
,
), а
комплексное число a – bi называют числом, сопряженным к числу z
(обозначение:
). Перемножают комплексные числа по обычным правилам
раскрытия скобок и приведения подобных членов, заменяя каждый раз i2 на
– 1, т. е.
|
(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i. |
|
Каждое вещественное число a можно рассматривать как комплексное число
a + 0i.
Если на плоскости выбрать систему координат, то можно установить взаимно
однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости, при
котором числу a + bi соответствует точка с координатами (a,b). При этом
умножение на комплексное число z приобретает следующую геометрическую
интерпретацию. Пусть r - расстояние от нуля до z, j - угол,
на который нужно повернуть вокруг нуля луч, содержащий положительные
вещественные числа, чтобы получить луч Oz. Тогда умножение на число z -
это композиция гомотетии с коэффициентом r (с центром в нуле) и поворота на
угол j. Числа r и j называют соответственно модулем и
аргументом числа z (обозначение: r = |z|, j = argz).
По-другому геометрическую интерпретацию произведения комплексных чисел можно
сформулировать так: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а
аргументы складываются.
Зная геометрическую интерпретацию комплексных чисел, легко научиться их делить:
для этого нужно делить модули и вычитать аргументы. Деление можно ввести также
и чисто алгебраически. Для каждого комплексного числа z = a + bi имеет место
очевидное равенство
|
z |
-
z
|
= (a + bi)(a – bi) = a2 – b2i2 = a2 + b2 = |z|2. |
|
Поэтому
.
Тот факт, что произведение комплексных чисел, с одной стороны, вычисляется
чисто алгебраически, а с другой стороны, имеет геометрическую интерпретацию,
иногда бывает полезным при решении задач планиметрии. Как правило, решение,
использующее комплексные числа, в действительности использует только векторы и
поворот. Но иногда комплексные числа позволяют взглянуть на теоремы планиметрии
с новой точки зрения и, что гораздо важнее, глубже понять их природу.
Очень простую интерпретацию на языке комплексных чисел имеет инверсия с центром
в нуле: она отображает число z в число
, где R2 - степень
инверсии.
-
29.20.
-
Пусть a, b, c, d - комплексные числа, причем углы a0b и c0d равны
и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда
.
Будем говорить, что треугольники ABC и AўBўCў собственно подобны ,
если существует поворотная гомотетия, которая переводит A в Aў, B в Bў,
C в Cў.
-
29.21.
-
Докажите, что если треугольники abc и aўbўcў на комплексной плоскости
собственно подобны, то
|
(b – a)/(c – a) = (bў – aў)/(cў – aў). |
|
-
29.22.
-
Докажите, что треугольники abc и aўbўcў собственно подобны, тогда и только
тогда, когда
|
aў(b – c) + bў(c – a) + cў(a – b) = 0. |
|
-
29.23.
-
Пусть a и b - комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле,
u - точка пересечения касательных к этой окружности в точках a и b.
Докажите, что u = 2ab/(a + b).
-
29.24.
-
Пусть a - комплексное число, лежащее на единичной окружности S с центром
в нуле, t - вещественное число (точка, лежащая на вещественной оси). Пусть,
далее, b - отличная от a точка пересечения прямой at с окружностью S.
Докажите, что
.
-
29.25.
-
Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной
окружности. Обозначим через A1 (соответственно B1, C1) основание
перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B,
C), а через A2 (соответственно B2, C2) обозначим точку вписанной
окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC
(соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A1A2, B1B2, C1C2,
пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.
-
29.26.
-
а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида
|
Az |
-
z
|
+ cz + |
-
c
|
|
-
z
|
+ D = 0, |
|
где A и D - вещественные числа, а c - комплексное число. Наоборот,
докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую,
либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и
прямые.
-
29.27.
-
Пусть точки A*, B*, C*, D* являются образами точек A, B, C,
D при инверсии. Докажите, что:
а)
|
AC
AD
|
: |
BC
BD
|
= |
A*C*
A*D*
|
: |
B*C*
B*D*
|
|
;
б) Р(DA,AC) – Р(DB,BC) = Р(D*B*,B*C*) – Р(D*A*,A*C*).
-
29.28.
-
Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c,
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число
, называемое простым отношением трех комплексных чисел,
вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d,
лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда
число
|
a – c
a – d
|
: |
b – c
b – d
|
|
, называемое двойным отношением
четырех комплексных чисел, вещественно.
-
29.29*.
-
а) Докажите, что если A, B, C и D - произвольные точки плоскости, то
AB · CD + BC · AD і AC · BD (неравенство Птолемея ).
б) Докажите, что если A1, A2, … A6 - произвольные точки
плоскости, то
|
A1A4 · A2A5 · A3A6 Ј A1A2 · A3A6 · A4A5 + A1A2 · A3A4 · A5A6 + |
|
|
+ A2A3 · A1A4 · A5A6 + A2A3 · A4A5 · A1A6 + A3A4 · A2A5 · A1A6. |
|
в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда
и только тогда, когда ABCD - (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и
только тогда, когда A1… A6 - вписанный шестиугольник.
-
29.30*.
-
Докажите, что если a, b, c и d - длины последовательных сторон
выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n - длины его диагоналей, то
m2n2 = a2c2 + b2d2 – 2abcdcos (A + C) (Бретшнейдер).
-
29.31*.
-
а) Даны точка X и треугольник ABC. Докажите, что
|
|
XB
b
|
· |
XC
c
|
+ |
XC
c
|
· |
XA
a
|
+ |
XA
a
|
· |
XB
b
|
і 1, |
|
где a, b, c - длины сторон треугольника.
б) На сторонах BC, CA, AB взяты точки A1, B1, C1. Пусть
a, b, c - длины сторон треугольника ABC, a1, b1, c1 -
длины сторон треугольника A1B1C1, S - площадь треугольника ABC.
Докажите, что
|
4S2 Ј a2b1c1 + b2a1c1 + c2a1b1. |
|
-
29.32*.
-
На сторонах аффинно правильного многоугольника A1A2… An с центром O
внешним образом построены квадраты Aj + 1AjBjCj + 1 (j = 1,…,n).
Докажите, что отрезки BjCj и OAj перпендикулярны, а их отношение равно
.
-
29.33*.
-
На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные
n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и
только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.
-
29.34*.
-
Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим
на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w
изогонально сопряжены, то
| z + w + abc |
-
z
|
|
-
w
|
= a + b + c
|
(Морли).
-
29.35*.
-
Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника.
При инверсии относительно описанной окружности точки Z и W переходят в
Z* и W*. Докажите, что середина отрезка Z*W* лежит на вписанной
окружности.
-
29.36*.
-
Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника
ABC с центром O; M - середина отрезка ZW. Докажите, что
РAOZ + РAOW + РAOM = np (углы ориентированы).
Глава 29. § 2 | 
