Глава 2. § 10  |	Оглавление |	Глава 2. Задачи для самостоятельного решения

§ 11.  Разные задачи

2.90.

В треугольнике ABC проведена высота AH;  O- центр описанной окружности. Докажите, что РOAH = |РB – РC|.

2.91.

Пусть H- точка пересечения высот треугольника ABC, а AAў- диаметр его описанной окружности. Докажите, что отрезок AўH делит сторону BC пополам.

2.92.

Через вершины A и B треугольника ABC проведены две параллельные прямые, а прямые m и n симметричны им относительно биссектрис соответствующих углов. Докажите, что точка пересечения прямых m и n лежит на описанной окружности треугольника ABC.

2.93.

а) Из точки A проведены прямые, касающиеся окружности S в точках B и C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны BC, лежат на окружности S.

б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины B и C любого треугольника ABC и центр O его вписанной окружности, высекает на прямых AB и AC равные хорды.

2.94^*.

На сторонах AC и BC треугольника ABC внешним образом построены квадраты ACA₁A₂ и BCB₁B₂. Докажите, что прямые A₁B,A₂B₂ и AB₁ пересекаются в одной точке.

2.95^*.

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B, причем касательные к S₁ в этих точках являются радиусами S₂. На внутренней дуге S₁ взята точка C и соединена с точками A и B прямыми. Докажите, что вторые точки пересечения этих прямых с S₂ являются концами одного диаметра.

2.96^*.

Из центра O окружности опущен перпендикуляр OA на прямую l. На прямой l взяты точки B и C так, что AB = AC. Через точки B и C проведены две секущие, первая из которых пересекает окружность в точках P и Q, а вторая- в точках M и N. Прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS.

Глава 2. § 10  |	Оглавление |	Глава 2. Задачи для самостоятельного решения

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.