Глава 2. § 4  |	Оглавление |	Глава 2. § 6

§ 5.  Четыре точки, лежащие на одной окружности

2.39.

Из произвольной точки M катета BC прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB опущен перпендикуляр MN. Докажите, что РMAN = РMCN.

2.40.

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O; точки Bў и Cў симметричны вершинам B и C относительно биссектрисы угла BOC. Докажите, что РCўAC = РBўDB.

2.41.

Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD- в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.

2.42^*.

Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках M и N. Пусть P- точка пересечения прямой MN и биссектрисы угла B (или ее продолжения). Докажите, что:

a)  РBPC = 90°;

б)  S_ABP : S_ABC = 1 : 2.

2.43^*.

Внутри четырехугольника ABCD взята точка M так, что ABMD- параллелограмм. Докажите, что если РCBM = РCDM, то РACD = РBCM.

2.44^*.

Прямые AP,BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A₁,B₁ и C₁. Точки A₂, B₂ и C₂ взяты на прямых BC,CA и AB так, что Р(PA₂,BC) = Р(PB₂,CA) = Р(PC₂,AB). Докажите, что DA₂B₂C₂ ~ DA₁B₁C₁.

2.45^*.

Вокруг правильного треугольника APQ описан прямоугольник ABCD, причем точки P и Q лежат на сторонах BC и CD соответственно;  Pў и Qў- середины сторон AP и AQ. Докажите, что треугольники BQўC и CPўD правильные.

2.46^*.

Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + BC, то точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на стороне CD.

2.47^*.

Диагонали AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что AM : AC = CN :  CE = l. Найдите l, если известно, что точки B,M и N лежат на одной прямой.

2.48^*.

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют соответственно параллельные стороны, причем стороны AB и A₁B₁ лежат на одной прямой. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения описанных окружностей треугольников A₁BC и AB₁C, содержит точку C₁.

2.49^*.

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁,BB₁ и CC₁. Прямая KL параллельна CC₁, причем точки K и L лежат на прямых BC и B₁C₁ соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A₁KL лежит на прямой AC.

2.50^*.

Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая MN перпендикулярно CO, причем M и N лежат на сторонах AC и BC соответственно. Прямые AO и BO пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках Aў и Bў. Докажите, что точка пересечения прямых AўN и BўM лежит на описанной окружности.

Глава 2. § 4  |	Оглавление |	Глава 2. § 6

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.