Глава 2. § 5  |	Оглавление |	Глава 2. § 7

§ 6.  Вписанный угол и подобные треугольники

2.51.

На окружности взяты точки A,B,C и D. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Докажите, что AC · AD/AM = BC · BD/BM.

2.52.

На окружности даны точки A,B и C, причем точка B более удалена от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Прямая AC пересекает прямую, проведенную через точку B параллельно l, в точке D. Докажите, что AB² = AC · AD.

2.53.

Прямая l касается окружности с диаметром AB в точке C; M и N- проекции точек A и B на прямую l, D- проекция точки C на AB. Докажите, что CD² = AM · BN.

2.54.

В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и C опущены перпендикуляры BB₁ и CC₁ на прямую, проходящую через точку A. Докажите, что DABC ~ DHB₁C₁.

2.55.

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите, что 1/PQ = 1/PB + 1/PC.

2.56.

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F так, что РEAF = 45°. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q. Докажите, что S_AEF/S_APQ = 2.

2.57.

Прямая, проходящая через вершину C равнобедренного треугольника ABC, пересекает основание AB в точке M, а описанную окружность в точке N. Докажите, что CM · CN = AC² и CM/CN = AM · BM/(AN · BN).

2.58.

Дан параллелограмм ABCD с острым углом при вершине A. На лучах AB и CB отмечены точки H и K соответственно так, что CH = BC и AK = AB. Докажите, что:

а)  DH = DK;

б)  DDKH ~ DABK.

2.59.

а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA₁,PB₁ и PC₁ на прямые BC,CA и AB. Докажите, что PC₁² = PA₁ · PB₁ и PA₁ : PB₁  =  PA²  : PB².

б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры OAў,OBў,OCў на стороны треугольника ABC и перпендикуляры OAўў,OBўў,OCўў на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что OAў · OBў · OCў = OAўў · OBўў · OCўў.

2.60.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки E до прямых AB,BC и CD равны a,b и c соответственно. Найдите расстояние от точки E до прямой AD.

2.61.

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁,BB₁ и CC₁;  B₂ и C₂- середины высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что DA₁B₂C₂ ~ DABC.

2.62.

На высотах треугольника ABC взяты точки A₁,B₁ и C₁, делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите, что DA₁B₁C₁ ~ DABC.

2.63^*.

Окружность S₁ с диаметром AB пересекает окружность S₂ с центром A в точках C и D. Через точку B проведена прямая, пересекающая S₂ в точке M, лежащей внутри S₁, а S₁ в точке N. Докажите, что MN² = CN · ND.

2.64^*.

Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезки KN и ML пересекают AB в точках Q и P. Докажите, что PC = QC.

2.65^*.

а) Окружность, проходящая через точку C, пересекает стороны BC и AC треугольника ABC в точках A₁ и B₁, а его описанную окружность в точке M. Докажите, что DAB₁M ~ DBA₁M.

б) На лучах AC и BC отложены отрезки AA₁ и BB₁, равные полупериметру треугольника ABC.  M- такая точка его описанной окружности, что CM||A₁B₁. Докажите, что РCMO = 90°, где O- центр вписанной окружности.

Глава 2. § 5  |	Оглавление |	Глава 2. § 7

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.