Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 30. § 2  |  Оглавление |  Глава 30. § 4

§ 3.  Переведем данную прямую на бесконечность

30.24*.
Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на двух данных прямых l1 и l2, а стороны BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой, проходящей через точку Q пересечения прямых l1 и l2.
30.25*.
Пусть O - точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а E, F - точки пересечения продолжений сторон AB и CD, BC и AD соответственно. Прямая EO пересекает стороны AD и BC в точках K и L, а прямая FO пересекает стороны AB и CD в  точках M и N. Докажите, что точка X пересечения прямых KN и LM лежит на прямой EF.
30.26*.
Прямые a, b, c пересекаются в одной точке O. В треугольниках A1B1C1 и A2B2C2 вершины A1 и A2 лежат на прямой a; B1 и B2 - на прямой b; C1 и C2 - на прямой c. A, B, C - точки пересечения прямых B1C1 и B2C2, C1A1 и C2A2, A1B1 и A2B2 соответственно. Докажите, что точки A, B, C лежат на одной прямой (Дезарг).
30.27*.
Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A1, B1, C1 - на прямой l1. Докажите, что точки пересечения прямых AB1 и BA1, BC1 и CB1, CA1 и AC1 лежат на одной прямой (Папп).
30.28*.
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q - точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R - произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K - точка пересечения прямых BC и PR, L - точка пересечения прямых AB и QR, M - точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.
30.29*.
Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Известно, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O, и прямые AB1, BC1 и CA1 пересекаются в одной точке O1. Докажите, что прямые AC1, BA1 и CB1 тоже пересекаются в одной точке O2 (теорема о дважды перспективных треугольниках ).
30.30*.
Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Известно, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O, прямые AA1, BC1 и CB1 пересекаются в одной точке O1 и прямые AC1, BB1 и CA1 пересекаются в одной точке O2. Докажите, что прямые AB1, BA1 и CC1 тоже пересекаются в одной точке O3 (теорема о трижды перспективных треугольниках ).
30.31*.
Даны четырехугольник ABCD и прямая l. Обозначим через P, Q, R точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, BC и AD, а через P1, Q1, R1 - середины отрезков, которые эти пары прямых высекают на прямой l. Докажите, что прямые PP1, QQ1 и RR1 пересекаются в одной точке.
30.32*.
Даны треугольник ABC и прямая l. Обозначим через A1, B1, C1 середины отрезков, высекаемых на прямой l углами A, B, C, а через A2, B2, C2 - точки пересечения прямых AA1 и BC, BB1 и AC, CC1 и AB. Докажите, что точки A2, B2, C2 лежат на одной прямой.
30.33*.
Даны четыре точки A, B, C, D. Пусть P, Q, R - точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно; K и L - точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD соответственно. Докажите, что (QRKL) =  – 1 (теорема о полном четырехстороннике .)
30.34*.
Окружность пересекает прямые BC, CA, AB в точках A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2. Пусть la - прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB1 и CC2, BB2 и CC1; прямые lb и lc определяются аналогично. Докажите, что прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке (или параллельны).
30.35*.
Можно ли на плоскости окрасить 1991 точку в красный цвет и 1991 точку в синий так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки различных цветов, содержала еще одну из окрашенных точек? (Предполагается, что окрашенные точки попарно различны и не лежат на одной прямой.)

  Глава 30. § 2  |  Оглавление |  Глава 30. § 4

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100