| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 4. Применение проективных преобразований,
сохраняющих окружность
Основным инструментом для решения задач этого параграфа
являются задачи 30.16 и 30.17.
-
30.36*.
-
Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания
описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.
-
30.37*.
-
Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками
касания противоположных сторон с вписанной окружностью,
пересекаются в одной точке.
-
30.38*.
-
а) Через точку P проводятся всевозможные секущие
окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения
касательных к окружности S, проведенных в двух точках
пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих
AB и CD окружности S (A, B, C, D - точки
пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек
пересечения прямых AC и BD.
-
30.39*.
-
Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая
на S и не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S.
Рассмотрим преобразование P прямой l, являющееся композицией
проектирования l на S из M, S на себя из O и S на l
из M, т. е. P(A) - пересечение прямых l и MC,
где C - отличная от B точка пересечения S с прямой OB,
а B - отличная от A точка пересечения S с прямой MA.
Докажите, что преобразование P проективно.
Замечание.
Если считать, что окружность S отождествлена
с прямой l посредством проектирования из точки M, то утверждение
последней задачи можно переформулировать следующим образом:
центральное проектирование окружности на себя является проективным
преобразованием.
-
30.40*.
-
Даны окружность S, точка P, расположенная вне S,
и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность
в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности
в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P
и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите,
что геометрическим местом точек пересечения отличных от
AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N,
является некоторая прямая, проходящая через K, из которой
выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать
точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R
точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что
все полученные прямые проходят через одну точку, и эта
точка лежит на l.
-
30.41*.
-
Вневписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC
в точке D, а продолжений сторон AB и AC - в
точках E и F. Пусть T - точка пересечения прямых BF
и CE. Докажите, что точки A, D и T лежат на одной прямой.
-
30.42*.
-
Пусть ABCDEF - описанный шестиугольник. Докажите, что его
диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке (Брианшон).
-
30.43*.
-
В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что
точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA
лежат на одной прямой (Паскаль).
-
30.44*.
-
Пусть O - середина хорды AB окружности S, MN
и PQ - произвольные хорды, проходящие через O, причем
точки P и N лежат по одну сторону от AB, E и F -
точки пересечения хорды AB с хордами MP и NQ соответственно.
Докажите, что O - середина отрезка EF (задача о бабочке ).
-
30.45*.
-
Точки A, B, C и D лежат на окружности, SA и SD -
касательные к этой окружности, P и Q - точки
пересечения прямых AB и CD, AC и BD соответственно.
Докажите, что точки P, Q и S лежат на одной прямой.
Глава 30. § 3 | 
