| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 6. Применение проективных преобразований прямой
в задачах на построение
-
30.51*.
-
Даны окружность, прямая и точки A, Aў, B, Bў, C, Cў, M,
лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1
и 30.3 сущест-
вует единственное проективное преобразование
данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно
в Aў, Bў, Cў. Обозначим это преобразование через P.
Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M);
б) неподвижные точки отображения P (задача Штейнера ).
Задача построения неподвижных точек проективного преобразования
является ключевой для этого параграфа в том смысле, что
остальные задачи тем или иным способом к ней сводятся (см. также
замечания после задач 30.10 и 30.39).
-
30.52*.
-
Даны две прямые l1 и l2 и две точки A и B, не
лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте
на прямой l1 такую точку X, чтобы прямые AX и BX
высекали на прямой l2 отрезок, а) имеющий данную длину a;
б) делящийся пополам в данной точке E прямой l2.
-
30.53*.
-
Точки A и B лежат на прямых a и b соответственно,
а точка P не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем
и линейкой проведите через P прямую, пересекающую прямые a
и b в точках X и Y соответственно таких, что длины
отрезков AX и BY имеют а) данное отношение; б) данное
произведение.
-
30.54*.
-
Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую,
на которой три данные прямые высекают равные отрезки.
-
30.55*.
-
Даны окружность S и две хорды AB и CD.
Циркулем и линейкой постройте на окружности такую точку X,
чтобы прямые AX и BX высекали на CD отрезок
а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной
точке E хорды CD.
-
30.56*.
-
а) Даны прямая l и точка P вне ее. Циркулем
и линейкой постройте на l отрезок XY данной длины,
который виден из P под данным углом a.
б) Даны две прямые l1 и l2 и точки P и Q, не лежащие
на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l1
точку X и на прямой l2 точку Y так, что отрезок XY
виден из точки P под данным углом a, а из точки Q -
под данным углом b.
-
30.57*.
-
а) Дана некоторая окружность. При помощи одной
линейки постройте n-угольник, стороны которого проходят
через данные n точек, а вершины лежат на n данных прямых.
б) При помощи одной линейки впишите в данную окружность
n-угольник, стороны которого проходят через данные n точек.
в) При помощи циркуля и линейки впишите в данную
окружность многоугольник, у которого некоторые стороны
проходят через данные точки, некоторые другие параллельны
данным прямым, а остальные имеют данные длины (о
каждой стороне имеется информация одного из трех перечисленных типов).
Глава 30. § 5 | 
