| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 10. Радикальная ось
-
3.51.
-
На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая,
проведенная через точку P, пересекает окружность в точках A
и B. Докажите, что произведение PA · PB не зависит от
выбора прямой.
Эта величина, взятая со знаком плюс для точки P вне окружности
и со знаком минус для точки P внутри окружности, называется
степенью точки P относительно окружности S.
-
3.52.
-
Докажите, что для точки P, лежащей вне окружности S,
ее степень относительно S равна квадрату длины касательной,
проведенной из этой точки.
-
3.53.
-
Докажите, что степень точки P относительно
окружности S равна d2 – R2, где R- радиус S, d-
расстояние от точки P до центра S.
-
3.54*.
-
На плоскости даны две неконцентрические
окружности S1 и S2. Докажите, что геометрическим местом точек,
для которых степень относительно S1 равна степени
относительно S2, является прямая.
Эту прямую называют радикальной осью окружностей S1 и S2.
-
3.55*.
-
Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся
окружностей проходит через точки их пересечения.
-
3.56*.
-
На плоскости даны три окружности, центры которых
не лежат на одной прямой. Проведем радикальные оси для
каждой пары этих окружностей. Докажите, что все три
радикальные оси пересекаются в одной точке.
Эту точку называют радикальным центром трех окружностей.
-
3.57*.
-
На плоскости даны три попарно пересекающиеся
окружности. Через точки пересечения любых двух из них
проведена прямая. Докажите, что эти три прямые пересекаются
в одной точке или параллельны.
-
3.58*.
-
Даны две неконцентрические окружности S1 и S2.
Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих
обе эти окружности под прямым углом, является их
радикальная ось, из которой (если данные окружности
пересекаются) выброшена их общая хорда.
-
3.59*.
-
а) Докажите, что середины четырех общих касательных
к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой.
б) Через две из точек касания общих внешних касательных
с двумя окружностями проведена прямая. Докажите, что
окружности высекают на этой прямой равные хорды.
-
3.60*.
-
На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты
точки A1 и B1; l- прямая, проходящая через общие точки
окружностей с диаметрами AA1 и BB1. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот
треугольника ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C,
когда AB1 : AC = BA1 : BC.
-
3.61*.
-
Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD
пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC
и AD- в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC,BD
и EF имеют общую радикальную ось, причем на
ней лежат ортоцентры треугольников ABE,CDE,ADF и BCF.
-
3.62*.
-
Три окружности попарно пересекаются в точках A1
и A2, B1 и B2, C1 и C2. Докажите, что
A1B2 · B1C2 · C1A2 = A2B1 · B2C1 · C2A1.
-
3.63*.
-
На стороне BC треугольника ABC взята точка Aў.
Серединный перпендикуляр к отрезку AўB пересекает сторону AB
в точке M, а серединный перпендикуляр к отрезку AўC
пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что точка,
симметричная точке Aў относительно прямой MN, лежит на
описанной окружности треугольника ABC.
-
3.64*.
-
Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.
-
3.65*.
-
Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько
попарно непересекающихся кругов различных радиусов.
Докажите, что многоугольник можно разрезать на
маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми
и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.
-
3.66*.
-
а) В треугольнике ABC проведены высоты AA1,BB1
и CC1. Прямые AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1
пересекаются в точках Cў,Aў и Bў. Докажите, что точки Aў,Bў
и Cў лежат на радикальной оси окружности девяти
точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают
продолжения противоположных сторон в точках Aў,Bў
и Cў. Докажите, что точки Aў,Bў и Cў лежат на одной
прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей
центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
-
3.67*.
-
Докажите, что диагонали AD,BE и CF описанного
шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).
-
3.68*.
-
Даны четыре окружности S1,S2,S3 и S4, причем
окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1,2,3,4
(S5 = S1). Докажите, что радикальная ось окружностей S1
и S3 проходит через точку пересечения общих внешних касательных
к S2 и S4.
-
3.69*.
-
а) Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A
и B. Степень точки P окружности S1 относительно окружности S2
равна p, расстояние от точки P до прямой AB равно h, а
расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите,
что |p| = 2dh.
б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей
треугольников BCD и ACD равны pa и pb. Докажите,
что |pa|SBCD = |pb|SACD.
Глава 3. § 9 | 