| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 5. Две касательные, проведенные из одной точки
-
3.27.
-
Из точки A проведены касательные AB и AC
к окружности с центром O. Докажите, что если из точки M
отрезок AO виден под углом 90°, то отрезки OB и OC
видны из нее под равными углами.
-
3.28.
-
Из точки A проведены касательные AB и AC
к окружности с центром O. Через точку X отрезка BC
проведена прямая KL, перпендикулярная XO (точки K и L
лежат на прямых AB и AC). Докажите, что KX = XL.
-
3.29.
-
На продолжении хорды KL окружности с центром O
взята точка A, и из нее проведены касательные AP и AQ;
M- середина отрезка PQ. Докажите, что РMKO = РMLO.
-
3.30*.
-
Из точки A проведены касательные AB и AC
к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках D
и E; M- середина отрезка BC. Докажите, что BM2 = DM · ME
и угол DME в два раза больше угла DBE или угла DCE; кроме того,
РBEM = РDEC.
-
3.31*.
-
Четырехугольник ABCD вписан в окружность,
причем касательные в точках B и D пересекаются в точке K,
лежащей на прямой AC.
а) Докажите, что AB · CD = BC · AD.
б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA,BD
и BC в точках P,Q и R. Докажите, что PQ = QR.
-
3.32.
-
Даны окружность S и прямая l, не имеющие общих
точек. Из точки P, движущейся по прямой l, проводятся
касательные PA и PB к окружности S. Докажите, что все
хорды AB имеют общую точку.
Если точка P лежит вне окружности S, а PA и PB- касательные
к окружности, то прямую AB называют полярой точки P
относительно окружности S.
-
3.33*.
-
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B,
причем центр O окружности S1 лежит на S2. Прямая,
проходящая через точку O, пересекает отрезок AB в точке P,
а окружность S2 в точке C. Докажите, что точка P лежит
на поляре точки C относительно окружности S1.
Глава 3. § 4 | 
