Глава 3. Решения  |	Оглавление |	Глава 4. § 1

Глава 4.
Площадь

Основные сведения

1. Площадь S треугольника ABC можно вычислять по следующим формулам:

а) S = ah_a/2, где a = BC,  h_a- длина высоты, опущенной на BC;

б) 

S =

1 2

bcsin A

, где b,c- стороны треугольника,  A- угол между ними;

в) S = pr, где p- полупериметр,  r- радиус вписанной окружности. В самом деле, если  O- центр вписанной окружности, то

S = SABO + SAOC + SOBC =   1 2 (c + b + a)r = pr.

2. Если многоугольник разрезан на несколько многоугольников, то сумма их площадей равна площади исходного многоугольника.

3. Фигуры, имеющие равную площадь, иногда называют равновеликими.

Вводные задачи

1.

Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна 

1 2

d1d2sin j

, где d₁ и d₂- длины диагоналей, а j- угол между ними.

2.

Пусть E и F- середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми AE,ED,BF и FC, если известно, что площадь ABCD равна S.

3.

Многоугольник описан около окружности радиуса r. Докажите, что его площадь равна pr, где p- полупериметр многоугольника.

4.

Точка X расположена внутри параллелограмма ABCD. Докажите, что S_ABX + S_CDX = S_BCX + S_ADX.

5.

Пусть A₁,B₁,C₁ и D₁- середины сторон CD,DA,AB,BC квадрата ABCD, площадь которого равна S. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми AA₁,BB₁,CC₁ и DD₁.

Глава 3. Решения  |	Оглавление |	Глава 4. § 1

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.