| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 12. Точки Брокара
-
5.126*.
-
а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует
такая точка P, что РABP = РCAP = РBCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные
ему треугольники CA1B,CAB1 и C1AB (углы при первых вершинах всех
четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA1,BB1
и CC1 пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с
точкой задачи а).
Точку P называют точкой Брокара треугольника ABC.
Аналогично доказывается, что существует еще и вторая точка Брокара Q,
для которой РBAQ = РACQ = РCBQ.
-
5.127*.
-
а) Через точку Брокара P треугольника ABC
проведены прямые AP,BP и CP, пересекающие описанную окружность в
точках A1,B1 и C1. Докажите,
что DABC = DB1C1A1.
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что
треугольник, образованный точками пересечения прямых PA,PB и PC с
окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для
восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения
прямых PA,PB и PC с окружностью отличны от точек A,B и C.)
-
5.128*.
-
а) Пусть P- точка Брокара треугольника ABC.
Угол j
= РABP = РBCP = РCAP называется углом Брокара
этого треугольника. Докажите, что ctg j
= ctg a + ctg b + ctg g.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально
сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и
прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в
точке A1. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен
углу A1AC.
-
5.129*.
-
а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника
не превосходит 30°.
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из
углов ABM,BCM и CAM не превосходит 30°.
-
5.130*.
-
Пусть Q- вторая точка Брокара треугольника ABC,
O- центр его описанной окружности, A1,B1 и C1-
центры описанных окружностей треугольников CAQ,ABQ и BCQ. Докажите,
что DA1B1C1 ~ DABC и O- первая точка
Брокара треугольника A1B1C1.
-
5.131*.
-
Пусть P- точка Брокара треугольника ABC;
R1,R2 и R3- радиусы описанных окружностей
треугольников ABP,BCP и CAP. Докажите, что R1R2R3 = R3,
где R- радиус описанной окружности треугольника ABC.
-
5.132*.
-
Пусть P и Q- первая и вторая точки Брокара
треугольника ABC. Прямые CP и BQ, AP и CQ, BP и AQ
пересекаются в точках A1,B1 и C1. Докажите, что описанная
окружность треугольника A1B1C1 проходит через точки P и Q.
-
5.133*.
-
На сторонах CA,AB и BC остроугольного
треугольника ABC взяты точки A1,B1 и C1 так, что РAB1A1 = РBC1B1 = РCA1C1. Докажите, что D
A1B1C1 ~ DABC, причем центр поворотной гомотетии,
переводящей один треугольник в другой, совпадает с первой точкой
Брокара обоих треугольников.
См. также задачу 19.56.
-
5.134*.
-
Докажите, что для угла Брокара j выполняются следующие
неравенства:
а) j3 Ј (a – j)(b – j)(g – j);
б) 8j3 Ј abg (неравенство Йиффа ).
-
5.135*.
-
Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а
вершина A движется так, что угол Брокара j треугольника ABC
остается постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса
, где a = BC
(окружность Нейберга ).
-
5.136*.
-
Опустим из точки M перпендикуляры MA1, MB1 и
MC1 на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC
множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A1B1C1 имеет
заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена
внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне ее
(окружности Схоуте).
Глава 5. § 11 | 
