Глава 5. § 12  |	Оглавление |	Глава 5. Задачи для самостоятельного решения

§ 13.  Точка Лемуана

Пусть AM- медиана треугольника ABC, а прямая AS симметрична прямой AM относительно биссектрисы угла A (точка S лежит на отрезке BC). Тогда отрезок AS называют симедианой треугольника ABC; иногда симедианой называется луч AS.

Симедианы треугольника пересекаются в точке, изогонально сопряженной точке пересечения медиан. Точку пересечения симедиан треугольника называют точкой Лемуана.

5.137.

Прямые AM и AN симметричны относительно биссектрисы угла A треугольника ABC (точки M и N лежат на прямой BC). Докажите, что BM · BN/(CM · CN) = c²/b². В частности, если A - симедиана, то BS/CS = c²/b².

5.138.

Выразите длину симедианы AS через длины сторон треугольника ABC.

5.139.

Отрезок B₁C₁, где точки B₁ и C₁ лежат на лучах AC и AB, называют антипараллельным стороне BC, если РAB₁C₁ = РABC и РAC₁B₁ = РACB. Докажите, что симедиана AS делит пополам любой отрезок B₁C₁, антипараллельный стороне BC.

5.140.

Касательная в точке B к описанной окружности S треугольника ABC пересекает прямую AC в точке K. Из точки K проведена вторая касательная KD к окружности S. Докажите, что BD- симедиана треугольника ABC.

5.141^*.

Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точке B и C пересекаются в точке P. Докажите, что прямая AP содержит симедиану AS.

5.142^*.

Окружность S₁ проходит через точки A и B и касается прямой AC, окружность S₂ проходит через точки A и C и касается прямой AB. Докажите, что общая хорда этих окружностей является симедианой треугольника ABC.

5.143^*.

Биссектрисы внешнего и внутреннего углов при вершине A треугольника ABC пересекают прямую BC в точках D и E. Окружность с диаметром DE пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках A и X. Докажите, что AX- симедиана треугольника ABC.

5.144^*.

Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC с прямым углом C является серединой высоты CH.

5.145^*.

Через точку X, лежащую внутри треугольника ABC, проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам (см. задачу 5.139). Докажите, что эти отрезки равны тогда и только тогда, когда X- точка Лемуана.

5.146^*.

Пусть A₁,B₁ и C₁- проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC. Докажите, что K- точка пересечения медиан треугольника A₁B₁C₁.

5.147^*.

Пусть A₁,B₁ и C₁- проекции точки Лемуана K треугольника ABC на стороны BC,CA и AB. Докажите, что медиана AM треугольника ABC перпендикулярна прямой B₁C₁.

5.148^*.

Прямые AK,BK и CK, где K- точка Лемуана треугольника ABC, пересекают описанную окружность в точках A₁,B₁ и C₁. Докажите, что K- точка Лемуана треугольника A₁B₁C₁.

5.149^*.

Докажите, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами соответствующих высот, пересекаются в точке Лемуана.

Глава 5. § 12  |  Оглавление |  Глава 5. Задачи для самостоятельного решения  Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.