Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 5. § 1  |  Оглавление |  Глава 5. § 3

§ 2.  Прямоугольные треугольники

5.16.
В треугольнике ABC угол C прямой. Докажите, что r = (a + b – c)/2 и rc = (a + b + c)/2.
5.17.
Пусть M — середина стороны AB треугольника ABC. Докажите, что CM = AB/2 тогда и только тогда, когда РACB = 90°.
5.18.
Дана трапеция ABCD с основанием AD. Биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, а при вершинах C и D — в точке Q. Докажите, что длина отрезка PQ равна половине периметра трапеции.
5.19.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса CD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно DC, пересекает AC в точке E. Докажите, что EC = 2AD.
5.20.
На медиане BM и на биссектрисе BK треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки D и E так, что DK ||AB и EM||BC. Докажите, что ED^BK.
5.21.
Сумма углов при основании трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
5.22.
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK — биссектриса CE. Докажите, что CB = BE.
5.23.
В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD и биссектриса CF;  DK и DL — биссектрисы треугольников BDC и ADC. Докажите, что CLFK — квадрат.
5.24*.
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC внешним образом построен квадрат ABPQ. Пусть a  = РACQ,b  = РQCP и g  = РPCB. Докажите, что cos b  = cos acos g.
См. также задачи 2.66, 5.68.


  Глава 5. § 1  |  Оглавление |  Глава 5. § 3

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100