| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 4. Треугольники с углами 60° и 120°
-
5.32.
-
В треугольнике ABC с углом A, равным 120°,
проведены биссектрисы AA1,BB1 и CC1. Докажите, что
треугольник A1B1C1 прямоугольный.
-
5.33.
-
В треугольнике ABC с углом A, равным 120°,
биссектрисы AA1,BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Докажите,
что РA1C1O = 30°.
-
5.34.
-
а) Докажите, что если угол A треугольника ABC
равен 120°, то центр описанной окружности и ортоцентр
симметричны относительно биссектрисы внешнего угла A.
б) В треугольнике ABC угол A равен 60°; O- центр
описанной окружности, H- ортоцентр, I- центр вписанной
окружности, а Ia- центр вневписанной окружности, касающейся
стороны BC. Докажите, что IO = IH и IaO = IaH.
-
5.35.
-
В треугольнике ABC угол A равен 120°.
Докажите, что из отрезков длиной a,b,b + c можно составить треугольник.
-
5.36*.
-
В остроугольном треугольнике ABC с углом A,
равным 60°, высоты пересекаются в точке H.
а) Пусть M и N- точки пересечения серединных перпендикуляров
к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно.
Докажите, что точки M,N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.
-
5.37*.
-
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1
и CC1. Докажите, что если РCC1B1 = 30°, то
либо РA = 60°, либо РB = 120°.
См. также задачу 2.33.
Глава 5. § 3 | 
