Глава 5. § 5  |	Оглавление |	Глава 5. § 7

§ 6.  Разные задачи

5.44.

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°. Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.

5.45.

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A₁,B₁ и C₁, симметричные O относительно середин сторон BC,CA и AB. Докажите, что DABC = DA₁B₁C₁ и прямые AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

5.46.

Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная AB, пересекает AC и BC в точках M и N, а прямые, параллельные AC и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что MN = AM + BN и периметр треугольника OPQ равен длине отрезка AB.

5.47.

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

5.48.

Пусть x = sin 18°. Докажите, что 4x² + 2x = 1.

5.49^*.

Докажите, что проекции вершины A треугольника ABC на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах B и C лежат на одной прямой.

5.50^*.

Докажите, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то он равнобедренный.

5.51^*.

а) В треугольниках ABC и AўBўCў равны стороны AC и AўCў, углы при вершинах B и Bў и биссектрисы углов B и Bў. Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, DABC = DAўBўCў или DABC = DCўBўAў).

5.52^*.

Докажите, что прямая делит периметр и площадь треугольника в равных отношениях тогда и только тогда, когда она проходит через центр вписанной окружности.

5.53^*.

Точка E- середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C;  C₁- середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:

б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

5.54^*.

На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABC₁D₁ и A₂BCD₂. Докажите, что точка пересечения прямых AD₂ и CD₁ лежит на высоте BH.

5.55^*.

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами A₁,B₁ и C₁. Пусть a₁,b₁ и c₁- длины сторон треугольника A₁B₁C₁  S и S₁- площади треугольников ABC и A₁B₁C₁. Докажите, что:

б) S₁ – S = (a² + b² + c²)/8.

5.56^*.

На сторонах AB,BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C₁,A₁ и B₁ так, что Р(CC₁,AB) = Р(AA₁,BC) = Р(BB₁,CA) = a. Прямые AA₁ и BB₁,  BB₁ и CC₁,  CC₁ и AA₁ пересекаются в точках Cў,Aў,Bў соответственно. Докажите, что:

б) DAўBўCў ~ DABC, причем коэффициент подобия равен 2cos a.

5.57^*.

В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой - тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

5.58^*.

На сторонах треугольника ABC взяты точки A₁,B₁ и C₁ так, что AB₁ : B₁C = cⁿ : aⁿ,BC₁ : C₁A = aⁿ : bⁿ и CA₁ : A₁B = bⁿ : cⁿ (a,b и c- длины сторон треугольника). Описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ высекает на сторонах треугольника ABC отрезки длиной ±x,±y и ±z (знаки выбираются в соответствии с ориентацией треугольника). Докажите, что

x an – 1

+

y bn – 1

+

z cn – 1

= 0

.

5.59^*.

В треугольнике ABC проведены триссектрисы (лучи, делящие углы на три равные части). Ближайшие к стороне BC триссектрисы углов B и C пересекаются в точке A₁; аналогично определим точки B₁ и C₁ (рис. 5.1). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний (теорема Морли ).

Рис. 5.1

5.60^*.

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁ с углами a,b и g при основаниях, причем a + b + g = 60°. Прямые BC₁ и B₁C пересекаются в точке A₂,  AC₁ и A₁C- в точке B₂,  AB₁ и A₁B- в точке C₂. Докажите, что углы треугольника A₂B₂C₂ равны 3a,3b и 3g.

5.61^*.

Окружность радиуса u_a вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса u_b вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами

a1 =

ж Ц

uactg   a 2

,

b1 =

ж Ц

ubctg   b 2

и c₁ = Цc равен Цp/2, где p - полупериметр треугольника ABC.

5.62^*.

Окружность S₁ вписана в угол A треугольника ABC; окружность S₂ вписана в угол B и касается S₁ (внешним образом); окружность S₃ вписана в угол C и касается S₂; окружность S₄ вписана в угол A и касается S₃ и т. д. Докажите, что окружность S₇ совпадает с S₁.

5.63^*.

Окружность S₁ вписана в угол A треугольника ABC. Из вершины C к ней проведена касательная (отличная от CA), и в образовавшийся треугольник с вершиной B вписана окружность S₂. Из вершины A к S₂ проведена касательная, и в образовавшийся треугольник с вершиной C вписана окружность S₃ и т. д. Докажите, что окружность S₇ совпадает с S₁.

Глава 5. § 5  |	Оглавление |	Глава 5. § 7

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.