Глава 5. § 7  |	Оглавление |	Глава 5. § 9

§ 8.  Теорема Чевы

5.77^*.

Дан треугольник ABC. На прямых AB,BC и CA взяты точки C₁,A₁ и B₁, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 – k- на продолжениях сторон. Пусть

R =   BA1 CA1  ·   CB1 AB1  ·   AC1 BC1 .

а) точки A₁,B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);

б) прямые AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).

5.78^*.

Вписанная (или вневписанная) окружность треугольника ABC касается прямых BC,CA и AB в точках A₁,B₁ и C₁. Докажите, что прямые AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

5.79^*.

Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей со сторонами, пересекаются в одной точке (точка Нагеля ).

5.80^*.

Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

5.81^*.

Прямые AP,BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁,B₁ и C₁. Докажите, что:

б) прямые, соединяющие середины сторон BC,CA и AB с серединами отрезков AA₁,BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

5.82^*.

На сторонах BC,CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁,B₁ и C₁ так, что отрезки AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Прямые A₁B₁ и A₁C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C₂ и B₂ соответственно. Докажите, что AB₂ = AC₂.

5.83^*.

а) Пусть a,b и g- произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше 180°. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники A₁BC,AB₁C и ABC₁, имеющие при вершинах A,B и C углы a,b и g. Докажите, что прямые AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

5.84^*.

Стороны BC,CA и AB треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках A₁,B₁ и C₁. На лучах OA₁,OB₁ и OC₁ отложены равные отрезки OA₂,OB₂ и OC₂. Докажите, что прямые AA₂,BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

5.85^*.

Прямые AP,BP и CP пересекают прямые BC,CA и AB в точках A₁,B₁ и C₁ соответственно. Точки A₂,B₂ и C₂ выбраны на прямых BC,CA и AB так, что  

BA2

:

A2C

=

A1C

:

BA1

,  

CB2

:

B2A

=

B1A

:

CB1

и  

AC2

:

C2B

=

C1B

:

AC1

. Докажите, что прямые AA₂,BB₂ и CC₂ тоже пересекаются в одной точке Q (или параллельны).

5.86^*.

На сторонах BC,CA,AB треугольника ABC взяты точки A₁,B₁,C₁. Докажите, что

AC1 C1B  ·   BA1 A1C  ·   CB1 B1A  =   sin ACC1 sin C1CB  ·   sin BAA1 sin A1AC  ·   sin CBB1 sin B1BA .

5.87^*.

На сторонах BC,CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁,B₁ и C₁, причем прямые AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке P. Докажите, что прямые AA₂,BB₂ и CC₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q.

5.88^*.

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

5.89^*.

Из некоторой точки P опущены перпендикуляры PA₁ и PA₂ на сторону BC треугольника ABC и на высоту AA₃. Аналогично определяются точки B₁,B₂ и C₁,C₂. Докажите, что прямые A₁A₂,B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке или параллельны.

5.90^*.

Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки B и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P,  AB и CD- в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через точку S.

5.91^*.

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A₁, B₁ и C₁. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает дугу B₁C₁ вписанной окружности в точке A₂; точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

5.92^*.

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A₁. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A₁, а стороны BC - в точке A₂. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

5.93^*.

а) На сторонах BC,CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A₁,B₁ и C₁ так, что прямые AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что

AC1 C1B  =   sin ABB1sin CAA1 sin BAA1sin CBB1 .

5.94^*.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁,BB₁ и CC₁. Биссектрисы AA₁ и CC₁ пересекают отрезки C₁B₁ и B₁A₁ в точках M и N. Докажите, что РMBB₁ = РNBB₁.

Глава 5. § 7  |	Оглавление |	Глава 5. § 9

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.