Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 5. § 8  |  Оглавление |  Глава 5. § 10

§ 9.  Прямая Симсона

5.95*.
а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона ).
б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.

5.96*.
Точки A,B и C лежат на одной прямой, точка P- вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABP,BCP,ACP и точка P лежат на одной окружности.
5.97*.
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DBў и DCў на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой BўCў, причем DM^BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA1.
5.98*.
а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA1,PB1 и PC1 под данным (ориентированным) углом a к прямым BC,CA и AB соответственно (точки A1,B1 и C1 лежат на прямых BC,CA и AB). Докажите, что точки A1,B1 и C1 лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла 90° на угол a она повернется на угол 90° – a.

5.99*.
а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA1 и PB1 на прямые BC и AC. Докажите, что PA · PA1 = 2Rd, где R- радиус описанной окружности,  d- расстояние от точки P до прямой A1B1.
б) Пусть a- угол между прямыми A1B1 и BC. Докажите, что cos a  = PA/2R.

5.100*.
Пусть A1 и B1- проекции точки P описанной окружности треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите, что длина отрезка A1B1 равна длине проекции отрезка AB на прямую A1B1.
5.101*.
На окружности фиксированы точки P и C; точки A и B перемещаются по окружности так, что угол ACB остается постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки P относительно треугольников ABC касаются фиксированной окружности.
5.102*.
Точка P движется по описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой P.
5.103*.
Докажите, что прямые Симсона двух диаметрально противоположных точек описанной окружности треугольника ABC перпендикулярны, а их точка пересечения лежит на окружности девяти точек (см. задачу 5.117).
5.104*.
Точки A,B,C,P и Q лежат на окружности с центром O, причем углы между вектором 
®
OP
 

и векторами 
®
OA
 
, ®
OB
 
, ®
OC
 

и 
®
OQ
 

равны a,b,g и (a + b + g)/2. Докажите. что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC параллельна OQ.
5.105*.
Точки A, B, C и P лежат на окружности с центром O. Стороны треугольника A1B1C1 параллельны прямым PA, PB, PC (PA|| B1C1 и т. д.). Через вершины треугольника A1B1C1 проведены прямые, параллельные сторонам треугольника ABC.
а) Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке P1, которая лежит на описанной окружности треугольника A1B1C1.

б) Докажите, что прямая Симсона точки P1 параллельна прямой OP.

5.106*.
Хорда PQ описанной окружности треугольника ABC перпендикулярна стороне BC. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC параллельна прямой AQ.
5.107*.
Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H;  P- точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.
5.108*.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность;  la- прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD, прямые lb,lc и ld определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.
5.109*.
а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников BCD,CDA,DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного  n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех  (n – 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин  n-угольника.

См. также задачи 5.11, 5.65.


  Глава 5. § 8  |  Оглавление |  Глава 5. § 10

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100