Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 6 |  Оглавление |  Глава 6. § 2

§ 1.  Вписанные и описанные четырехугольники

6.1.
Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырехугольник- ромб.
6.2.
Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. Докажите, что РAOB + РCOD = 180°.
6.3.
Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырехугольника ABCD, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника перпендикулярны.
6.4.
Окружность высекает на всех четырех сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.
6.5.
Докажите, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то центр этой окружности лежит на одной прямой с серединами диагоналей.
6.6.
Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. В треугольнике AOB проведены высоты AA1 и BB1, а в треугольнике COD- высоты CC1 и DD1. Докажите, что точки A1,B1,C1 и D1 лежат на одной прямой.

Рис. 6.1

6.7. Углы при основании AD трапеции ABCD равны 2a и 2b. Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда BC/AD = tg atg b.

6.8. В треугольнике ABC проведены отрезки PQ и RS, параллельные стороне AC, и отрезок BM (рис. 6.1). Трапеции RPKL и MLSC описанные. Докажите, что трапеция APQC тоже описанная.

6.9*. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD- в точке Q. Докажите, что четырехугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:  AB + CD = BC + AD, AP + CQ = AQ + CP или BP + BQ = DP + DQ.

6.10*.
Через точки пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведены две прямые, делящие его на четыре четырехугольника. Докажите, что если четырехугольники, примыкающие к вершинам B и D, описанные, то четырехугольник ABCD тоже описанный.
6.11*.
На стороне BC треугольника ABC взяты точки K1 и K2. Докажите, что общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK1 и ACK2 общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK2 и ACK1 пересекаются в одной точке.
6.12*.
Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников.
а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам A, B, C, D, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный.

б) Докажите, что если ra, rb, rc, rd - радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам A, B, C, D, то
 1

ra
 +   1

rc
 =   1

rb
 +   1

rd
.

6.13*.
Окружности S1 и S2, S2 и S3, S3 и S4, S4 и S1 касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касаются одной окружности.
6.14*.
Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.

*       *      *


6.15*.
Четырехугольник ABCD вписанный;  Hc и Hd- ортоцентры треугольников ABD и ABC. Докажите, что CDHcHd- параллелограмм.
6.16*.
Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB образуют прямоугольник.
6.17*.
Продолжения сторон четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в точках P и Q, а его диагонали пересекаются в точке S.
а) Расстояния от точек P,Q и S до точки O равны p,q и s, а радиус описанной окружности равен R. Найдите длины сторон треугольника PQS.

б) Докажите, что высоты треугольника PQS пересекаются в точке O.


*       *      *


6.18*.
Диагональ AC разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали AC в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников ABD и BCD тоже касаются диагонали BD в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.
6.19*.
Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.
6.20*.
Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.
См. также задачи 13.33, 13.34, 16.4.


  Глава 6 |  Оглавление |  Глава 6. § 2

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100