Глава 6. § 6  |	Оглавление |	Глава 6. § 8

§ 7.  Вписанные и описанные многоугольники

6.80^*.

На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности?

6.81^*.

В окружность вписан  2n-угольник  A₁… A_2n. Пусть p₁,…,p_2n- расстояния от произвольной точки M окружности до сторон A₁A₂,A₂A₃,…,A_2nA₁. Докажите, что p₁p₃… p_2n – 1 = p₂p₄… p_2n.

6.82^*.

Вписанный многоугольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что сумма радиусов всех вписанных в эти треугольники окружностей не зависит от разбиения.

6.83^*.

Два  n-угольника вписаны в одну окружность, причем наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.

6.84^*.

Положительные числа a₁,…,a_n таковы, что 2a_i < a₁ + … + a_n при всех i = 1,…,n. Докажите, что существует вписанный  n-угольник, длины сторон которого равны a₁,…,a_n.

6.85.

Точка, лежащая внутри описанного  n-угольника, соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания. Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.

6.86^*.

В  2n-угольнике (n нечетно)  A₁… A_2n, описанном около окружности с центром O, диагонали A₁A_n + 1,A₂A_n + 2,…,A_n – 1A_2n – 1 проходят через точку O. Докажите, что и диагональ A_nA_2n проходит через точку O.

6.87^*.

Окружность радиуса r касается сторон многоугольника в точках A₁,…,A_n, причем длина стороны, на которой лежит точка A_i, равна a_i. Точка X удалена от центра окружности на расстояние d. Докажите, что a₁XA₁² + … + a_nXA_n² = P(r² + d²), где P — периметр многоугольника.

6.88^*.

Около окружности описан  n-угольник  A₁… A_n; l — произвольная касательная к окружности, не проходящая через вершины  n-угольника. Пусть  a_i- расстояние от вершины A_i до прямой l,  b_i — расстояние от точки касания стороны A_iA_i + 1 с окружностью до прямой l. Докажите, что:

б) величина a₁a₃… a_2m – 1/(a₂a₄… a_2m) не зависит от выбора прямой l, если n = 2m.

6.89^*.

Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные, остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность.

Глава 6. § 6  |	Оглавление |	Глава 6. § 8

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.