Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002

---

Глава 6. § 9  |	Оглавление |	Глава 6. Решения

---

Задачи для самостоятельного решения

6.105.

Докажите, что если ABCD- прямоугольник, а P- произвольная точка, то AP² + CP² = DP² + BP².

6.106.

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны. На его сторонах внешним образом построены квадраты с центрами P,Q,R и S. Докажите, что отрезок PR проходит через точку пересечения диагоналей AC и BD, причем PR = (AC + BD)/Ц2.

6.107.

На наибольшей стороне AC треугольника ABC взяты точки A₁ и C₁ так, что AC₁ = AB и CA₁ = CB, а на сторонах AB и BC взяты точки A₂ и C₂ так, что AA₁ = AA₂ и CC₁ = CC₂. Докажите, что четырехугольник A₁A₂C₂C₁ вписанный.

6.108.

В окружность вписан выпуклый семиугольник. Докажите, что если какие-то три его угла равны 120°, то какие-то две его стороны равны.

6.109.

На плоскости даны правильный  n-угольник  A₁…A_n и точка P. Докажите, что из отрезков A₁P,…,A_nP можно составить замкнутую линию.

6.110.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность S₁ и описан около окружности S₂;  K,L,M и N- точки касания его сторон с окружностью S₂. Докажите, что KM^LN.

6.111.

Около окружности описан пятиугольник ABCDE, длины сторон которого- целые числа, причем AB = CD = 1. Найдите длину отрезка BK, где K- точка касания стороны BC с окружностью.

6.112.

Докажите, что в правильном  2n-угольнике  A₁…A_2n диагонали A₁A_n + 2,A_2n – 1A₃ и A_2nA₅ пересекаются в одной точке.

6.113.

Докажите, что в правильном двадцатичетырехугольнике  A₁… A₂₄ диагонали A₁A₇,A₃A₁₁ и A₅A₂₁ пересекаются в точке, лежащей на диаметре A₄A₁₆.

Глава 6. § 9  |  Оглавление |  Глава 6. Решения  Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.