| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 1. ГМТ- прямая или отрезок
-
7.1.
-
Два колеса радиусов r1 и r2 катаются по прямой l.
Найдите множество точек пересечения M их общих внутренних касательных.
-
7.2.
-
Стороны AB и CD четырехугольника ABCD площади S
не параллельны. Найдите ГМТ X, лежащих внутри четырехугольника, для
которых SABX + SCDX = S/2.
-
7.3.
-
Даны две прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите
ГМТ X, для которых сумма длин проекций отрезков OX на эти прямые
постоянна.
-
7.4.
-
Дан прямоугольник ABCD. Найдите ГМТ X, для
которых AX + BX = CX + DX.
-
7.5*.
-
Найдите геометрическое место точек M, лежащих
внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что РAMD + РBMC = 180°.
-
7.6.
-
На плоскости даны точки A и B. Найдите ГМТ M, для
которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.
-
7.7.
-
Даны окружность S и точка M вне ее. Через точку M
проводятся всевозможные окружности S1, пересекающие окружность S;
X- точка пересечения касательной в точке M к окружности S1
с продолжением общей хорды окружностей S и S1. Найдите ГМТ X.
-
7.8.
-
Даны две непересекающиеся окружности. Найдите
геометрическое место точек центров окружностей, делящих
пополам данные окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально
противоположных точках).
-
7.9*.
-
Внутри окружности взята точка A. Найдите геометрическое
место точек пересечения касательных к окружности, проведенных
через концы всевозможных хорд, содержащих точку A.
-
7.10*.
-
а) Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что
величина AX2 + CX2 – BX2 – DX2 не зависит от выбора точки X.
б) Четырехугольник ABCD не является параллелограммом.
Докажите, что все точки X, удовлетворяющие
соотношению AX2 + CX2 = BX2 + DX2, лежат на одной прямой,
перпендикулярной отрезку, соединяющему середины диагоналей.
См. также задачи 6.14, 15.14.
Глава 7 | 
