Глава 8. Решения  |	Оглавление |	Глава 9. § 1

Глава 9.
Геометрические неравенства

Основные сведения

1. Для элементов треугольника используются следующие обозначения:

a,b,c- длины сторон BC,CA,AB;

a,b,g- величины углов при вершинах A,B,C;

m_a,m_b,m_c- длины медиан, проведенных из вершин A,B,C;

h_a,h_b,h_c- длины высот, опущенных из вершин A,B,C;

l_a,l_b,l_c- длины биссектрис, проведенных из вершин A,B,C;

r и R- радиусы вписанной и описанной окружностей.

2. Если A,B,C- произвольные точки, то AB Ј AC + CB, причем равенство достигается, только если точка C лежит на отрезке AB (неравенство треугольника).

3. Медиана треугольника меньше полусуммы заключающих ее сторон: m_a < (b + c)/2 (задача 9.1).

4. Если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то периметр внешнего многоугольника больше периметра внутреннего (задача 9.27, б).

5. Сумма длин диагоналей, выпуклого четырехугольника больше суммы длин любой пары его противоположных сторон (задача 9.14).

6. Против большей стороны треугольника лежит больший угол (задача 10.59).

7. Длина отрезка, лежащего внутри выпуклого многоугольника, не превосходит либо наибольшей стороны, либо наибольшей диагонали (задача 10.64).

8. При решении некоторых задач этой главы нужно знать разные алгебраические неравенства. Сведения об этих неравенствах и их доказательства приведены в приложении к настоящей главе; с ними следует познакомиться, но нужно учесть, что они требуются только для решения достаточно сложных задач, а для решения простых задач понадобятся лишь неравенство 

Ц

ab

Ј (a + b)/2

и следствия из него.

Вводные задачи

1.

Докажите, что S_ABC Ј AB · BC/2.

2.

Докажите, что S_ABCD Ј (AB · BC + AD · DC)/2.

3.

Докажите, что РABC > 90° тогда и только тогда, когда точка B лежит внутри окружности с диаметром AC.

4.

Радиусы двух окружностей равны R и r, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности пересекаются тогда и только тогда, когда |R – r| < d < R + r.

5.

Докажите, что любая диагональ четырехугольника меньше половины его периметра.

Глава 8. Решения  |	Оглавление |	Глава 9. § 1

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.